Права порядкова топологія

Пра́ва поря́дкова тополо́гія — топологія на лінійно впорядкованій множині $X$, породжена множинами вигляду $S_a$ = {$x$ ∈ $X$| $x$ > $a$}, $a$ ∈ $X$.

Визначення

Якщо $X$ — лінійно впорядкована множина, тоді топологія, породжена базисними множинами вигляду $S_a=\{x\in X|x>a\},a\in X$, називається правою порядковою топологією на $X$. Ліва порядкова топологія визначається аналогічним чином, використовуючи множини $P_a=\{x\in X|x<a\},a\in X$.

Властивості

• Для будь-якої точки $a\in X$ кожен елемент $x<a$ є граничною точкою для $\{a\}$, звідки замикання будь-якої непорожньої відкритої множини є весь простір $X$, і кожна права порядкова топологія є слабко зліченно компактною.
• $X$ є гіперзв’язним і ультразв’язним, а отже лінійно зв’язним, локально зв’язним та псевдокомпактним.
• $X$ локально компактний, але він є компактним тоді і тільки тоді, коли він містить перший елемент. Але оскільки замикання будь-якої відкритої множини є весь простір, то $X$ є сильно локально компактним тоді і тільки тоді, коли $X$ компактний.
• Якщо $x$ < $y$, тоді $S_x$ є відкритим околом $y$, який не містить $x$. Звідси $X$ є $T_0$-простором, але не $T_1$-простором. Таким чином, він не є $T_2$, $T_3$ чи $T_{3\frac{1}{2}}$-простором. Але $X$ є $T_4$ і $T_5$-простором.
• $X$ не є досконалим $T_4$-простором, оскільки єдина відкрита множина, яка містить будь-яку замкнену множину, є $X$.
• Особливим випадком є права порядкова топологія на множині $ℝ$ всіх дійсних чисел. Позначимо цей простір $(ℝ,𝒯)$. Тоді $(ℝ,𝒯)$ задовольняє другу аксіому зліченності, оскільки $\{S_r{\}}_{r\in Q}$ є зліченною базою для $𝒯$. Таким чином, $(ℝ,𝒯)$ ліндельофів, і тому не зліченно компактний, оскільки не є компактним. Але оскільки $(ℝ,𝒯)$ є і локально компактним, і ліндельофовим, він $\sigma$-компактний.
• Кожна множина $P_r=\{x\in R|x<r\}$ є ніде не щільною в $(ℝ,𝒯)$, тому $ℝ$, який дорівнює $\cup P_r$, є простором першої категорії. Але кожна $P_r$ є щільною в собі.
• Відкрите покриття $\{S_n,n\in \mathbb{Z}\}$ простору $ℝ$, не має точково скінченного вписаного покриття, тому $(ℝ,𝒯)$ не є зліченно метакомпактним.
• Будь-яка скінченна множина в $(ℝ,𝒯)$ має безліч граничних точок, але не $\omega$-граничних точок (точок накопичення). Таким чином, якщо ми додамо до скінченної множини її $\omega$-граничні точки, ми не отримаємо замкнену множину.

Див. також

• Дискретна топологія
• Антидискретна топологія
• Топологія перекривних інтервалів

Література

• Шаблон:Citation (приклади 49, 50)