Похідна композиції функцій

Шаблон:Числення Шаблон:Otheruses Ланцюгове правило (правило диференціювання складеної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.

Якщо функція f має похідну в точці $x_0$, а функція g має похідну в точці $y_0=f(x_0)$, тоді складена функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці $x_0$.

Оператор \ Функція	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Диференціал	1: $\mathrm{d}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_x\mathrm{d}x$	2: ${\mathrm{d}}_{x}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_x\mathrm{d}x$ 3: $\mathrm{d}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_x\mathrm{d}x+f{\text{'}}_y\mathrm{d}y+f{\text{'}}_u\mathrm{d}u+f{\text{'}}_v\mathrm{d}v$
Часткова похідна	$f{\text{'}}_x\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}{=}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$	$f{\text{'}}_x\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}}{=}\frac{{\mathrm{d}}_{x}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial f}{\partial x}$
Повна похідна	$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}{=}f{\text{'}}_x$	$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}}{=}f{\text{'}}_x+f{\text{'}}_u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+f{\text{'}}_v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x};(f{\text{'}}_y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0)$

Одновимірний випадок

Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій, $f:U(x_0)\to V(y_0),$ де $y_0=f(x_0),$ і $g:V(y_0)\to ℝ$ Нехай також ці функції диференційовані: $f\in 𝒟(x_0),g\in 𝒟(y_0).$ Тоді їх композиція також диференційована: $h=g\circ f\in 𝒟(x_0),$ і її похідна має вигляд:

$h^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(f(x_0))\cdot f^{\prime }(x_0).$

Зауваження

У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції $y=y(x),$ де $x=x(t),$ набуває такого вигляду:

$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}.$

Інваріантність форми першого диференціала

Диференціал функції $z=g(y)$ в точці $y_0$ має вигляд:

$dz=g^{\prime }(y_0)dy,$

де $dy$ — диференціал тотожного відображення $y\to y$:

$dy(h)=h,h\in ℝ.$

Нехай тепер $y=f(x),x\in U(x_0),f\in 𝒟(x_0).$ Тоді $dy=f^{\prime }(x_0)dx$, і згідно з ланцюговомим правилом:

$dz=g^{\prime }(f(x_0))\cdot f^{\prime }(x_0)dx=g^{\prime }(y_0)dy.$

Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.

Приклад

Нехай $h(x)=(3x^2-5x{)}^7.$ Тоді функція $h$ може бути записана у вигляді композиції $h=g\circ f,$ де

$f(x)=3x^2-5x,g(y)=y^7.$

Диференціюємо ці функції окремо:

$f^{\prime }(x)=6x-5,g^{\prime }(y)=7y^6,$

отримуємо

$h^{\prime }(x)=7(3x^2-5x{)}^6\cdot (6x-5).$

Багатовимірний випадок

Нехай дані функції $f:U(x_0)\subset {ℝ}^m\to V(y_0)\subset {ℝ}^n,$ де $y_0=f(x_0),$ і $g:V(y_0)\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^p.$ Нехай також ці функції диференційовані: $f\in 𝒟(x_0)$ і $g\in 𝒟(y_0).$ Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд

$dh(x_0)=dg(y_0)*df(x_0).$

Зокрема, матриця Якобі функції $h$ є добутком матриць Якобі функцій $g$ і $f:$

$\frac{\partial (h_1,\dots ,h_p)}{\partial (x_1,\dots ,x_m)}=\frac{\partial (h_1,\dots ,h_p)}{\partial (y_1,\dots ,y_n)}\cdot \frac{\partial (y_1,\dots ,y_n)}{\partial (x_1,\dots ,x_m)}.$

Наслідки

• Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:

  $\left|\frac{\partial (h_1,\dots ,h_p)}{\partial (x_1,\dots ,x_m)}\right|=\left|\frac{\partial (h_1,\dots ,h_p)}{\partial (y_1,\dots ,y_n)}\right|\cdot \left|\frac{\partial (y_1,\dots ,y_n)}{\partial (x_1,\dots ,x_m)}\right|.$

Для часткових похідних складеної функції справедливо

• $\frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i}\frac{\partial y_i}{\partial x_j},j=1,\dots m.$

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч2