Послідовність Люка

В математиці, послідовностями Люка називають сімейство пар лінійних рекурентних послідовностей другого порядку, вперше розглянутих Едуардом Люка.

Послідовності Люка являють собою пари послідовностей $\{U_n(P,Q)\}$ и $\{V_n(P,Q)\}$, що задовольняють одному і тому ж рекурентному співвідношенню з коефіцієнтами P і Q:

$U_0(P,Q)=0,U_1(P,Q)=1,U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q)-Q\cdot U_n(P,Q),n\ge 0$

$V_0(P,Q)=2,V_1(P,Q)=P,V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q)-Q\cdot V_n(P,Q),n\ge 0$

Приклади

Деякі послідовності Люка носять власні імена:

• $\{U_n(1,-1)\}$ - числа Фібоначчі
• $\{V_n(1,-1)\}$ - числа Люка
• $\{U_n(2,-1)\}$ - числа Пелля
• $\{V_n(2,-1)\}$ - числа Пелля-Люка
• $\{U_n(3,2)\}$ - числа Мерсенна
• $\{U_n(1,-2)\}$ - числа Якобсталя

Явні формули

Характеристичним многочленом рекуретного співвідношення послідовностей Люка $\{U_n(P,Q)\}$ та $\{V_n(P,Q)\}$ є:

$x^2-P\cdot x+Q$

Його дискримінант $D=P^2-4Q$ вважається не рівним нулю. Корені характеристичного многочлена

$\alpha =\frac{P+\sqrt{D}}{2}$ и $\beta =\frac{P-\sqrt{D}}{2}$

можна використовувати для отримання явних формул:

$U_n(P,Q)=\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\alpha -\beta }=\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\sqrt{D}}$

та

$V_n(P,Q)={\alpha }^n+{\beta }^n.$

Властивості

Генератриси

Звичайні генератриси (твірні функції) для послідовностей Люка в загальному випадку мають вигляд:

$\sum _{n\ge 0}{U}_n(P,Q)z^n=\frac{z}{1-Pz+Q{z}^2};$

$\sum _{n\ge 0}{V}_n(P,Q)z^n=\frac{2-Pz}{1-Pz+Q{z}^2}.$

Джерела

• Lucas sequence at Encyclopedia of Mathematics.
• Шаблон:MathWorld