Числа Якобсталя

Числа Якобсталя — цілочисельна послідовність, названа на честь німецького математика Шаблон:Нп.

Числа Якобсталя

Як і числа Фібоначчі, числа Якобсталя — одна з послідовностей Люка

$U_n(P,Q),$

для якої P = 1 і Q = −2. Послідовність починається з чисел

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10 923, 21 845, 43 691, 87 381, 174 763, 349 525, …

Числа Якобсталя визначаються рекурентним відношенням

$J_n=\{\begin{array}{cc}0,& n=0;\\ 1,& n=1;\\ J_{n-1}+2J_{n-2},& n>1.\end{array}$

Інші варіанти рекурентного задання послідовності:

• $J_{n+1}=2J_n+(-1{)}^n$
• $J_{n+1}=2^n-J_n$

Число Якобсталя за заданим номером можна обчислити за формулою

$J_n=\frac{2^n-(-1{)}^n}{3}.$

Числа Якобсталя — Люка

Числа Якобсталя — Люка являють собою послідовність Люка $V_n(1,-2)$. Вони задовольняють тим самим рекурентним співвідношенням, що й числа Якобсталя, але відрізняються початковими значеннями:

$j_n=\{\begin{array}{cc}2,& n=0;\\ 1,& n=1;\\ j_{n-1}+2j_{n-2},& n>1.\end{array}$

Альтернативна формула:

$j_{n+1}=2j_n-3(-1{)}^n.$

Число Якобсталя — Люка за заданим номером можна обчислити за формулою

$j_n=2^n+(-1{)}^n.$

Послідовність Якобсталя — Люка починається числами

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16 385, 32 767, 65 537, 131 071, 262 145, 524 287, 1 048 577, ….

Література

• Шаблон:Цитата:Новини
• Шаблон:Цитата:Новини
• Шаблон:Цитата:Новини

Посилання

• Шаблон:OEIS - числа Якобсталя
• Шаблон:OEIS - прості числа Якобсталя