Породжувальна множина групи

Твірна множина групи — це така підмножина S групи G, що кожен елемент групи G можна подати як добуток скінченної кількості елементів із S та обернених до них.

Загальніше, якщо S підмножина групи G, тоді <S> — підгрупа породжена S, це найменша підгрупа G яка містить всі елементи S. Еквівалентно, <S> це підгрупа всіх елементів G, які можуть бути представлені як добутки скінченної кількості елементів з S та обернених до них.

Якщо G = <S>, говорять, що S породжує G, а елементи S називаються твірними або породжувальними елементами групи G. Якщо S — порожня, то за визначенням, вважається <S> = {e}.

Коли S містить тільки один елемент x, зазвичай пишуть <x> = G. В такому випадку <x> — це циклічна підгрупа степенів x в G.

Вільна група

Найзагальніша група породжена множиною S — це група вільно породжена S. Кожна група породжена S, ізоморфна факторгрупі такої групи. Ця властивість використовується для задання групи.

Приклади

Симетрична група

При n ≥ 3 симетрична група S_n не є циклічною (не може бути породженою одним елементом).

Хоча може бути породжена двома елементами: перестановка $(1\leftrightarrow 2)$ та перестановка $(1\to 2\to 3\to \dots \to n)$.

Для прикладу, перечислимо всі 6 елементів S₃:

$e=(12)(12)$

$(12)=(12)$

$(13)=(12)(123)$

$(23)=(123)(12)$

$(123)=(123)$

$(132)=(12)(123)(12)$

Знакозмінна група

При n ≥ 3 знакозмінна група може бути породжена 3-циклами (перестановками $i\to j\to k$).

В знакозмінній групі парна кількість транспозицій, і кожна пара транспозицій може бути утворена одним чи двома 3-циклами:

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}a& c\\ c& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& c& a\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}c& d\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ b& c& a& d\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccc}b& c& a& d\\ b& a& d& c\end{array}\right)$.

чи в циклічній нотації

$(ab)*(ac)=(abc)$

$(ab)*(cd)=(abc)*(cad)$

При n ≥ 3 знакозмінна група може бути породжена m-циклами (де m — непарне число > 1).

Оскільки:

• m-цикл має (m — 1), тобто, парну кількість транспозицій, отже є елементом групи і
• довільний 3-цикл є добутком m-циклів:

$(a_1{a}_2{a}_3)=(a_2{a}_1{a}_3{a}_4\dots a_m)\circ (a_m{a}_{m-1}\dots a_4{a}_3{a}_2{a}_1)$.

Див. також

• Граф Келі
• Залишково скінченна група

Джерела

• Шаблон:КнигаШаблон:Ref-uk
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Ленг.Алгебра
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups