Полілогарифм

Полілогарифм — спеціальна функція, що позначається ${Li}_{s} (z)$ і визначається як нескінченний степеневий ряд

{Li}_{s} (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{z^{k}}{k^{s}},

де s і z — комплексні числа, причому

| z | < 1

. Для інших z робиться узагальнення за допомогою аналітичного продовження.

Частковим випадком є

s = 1

, за якого

{Li}_{1} (z) = - \ln (1 - z)

. Функції

{Li}_{2} (z)

і

{Li}_{3} (z)

отримали назви дилогарифма і трилогарифма відповідно. Для полілогарифмів різних порядків виконується співвідношення

{Li}_{s + 1} (z) = \int_{0}^{z} \frac{{Li}_{s} (t)}{t} d t .

Альтернативними визначеннями полілогарифма є інтеграли Фермі — Дірака і Бозе — Ейнштейна.

Окремі значення

{Li}_{1} (\frac{1}{2}) = \ln 2

{Li}_{2} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} π^{2} - \frac{1}{2} (\ln 2)^{2}

{Li}_{3} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} (\ln 2)^{3} - \frac{1}{12} π^{2} \ln 2 + \frac{7}{8} ζ (3),

{Li}_{1} (z) = - \ln (1 - z)

{Li}_{0} (z) = \frac{z}{1 - z}

{Li}_{- 1} (z) = \frac{z}{(1 - z)^{2}}

{Li}_{- 2} (z) = \frac{z (1 + z)}{(1 - z)^{3}}

{Li}_{- 3} (z) = \frac{z (1 + 4 z + z^{2})}{(1 - z)^{4}}

{Li}_{- 4} (z) = \frac{z (1 + z) (1 + 10 z + z^{2})}{(1 - z)^{5}} .