Подільна група

Подільна група — група $G$, така що для будь-яких $n\in \mathbb{N}$ і $g\in G$ рівняння

$x^n=g$

має розв'язок. Часто група вважається абелевою, а умова записується в адитивній нотації як $nx=g$.

Група $A$ називається $p$-подільною ($p$ — просте число), якщо для будь-якого $a\in A$ рівняння $px=a$має розв'язок в $A$.

Приклади

• Група $(\mathbb{Q},+)$ всіх раціональних чисел і всі її факторгрупи, зокрема $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$
• Будь-які циклічні і загалом скінченнопороджені абелеві групи не є подільними.
• Стандартні групи $({\mathbb{Q}}^n,+),(ℝ,+),(ℂ,+),({ℝ}^n,+),({ℂ}^n,+)$ є подільними.
• $p$-примарна квазіциклічна група ${\mathbb{Z}}_{p^{\mathrm{\infty }}}$, тобто група, породжена зліченним набором елементів $a_0,a_1,\dots ,a_n,\dots$, які задовольняють умову

$p{a}_0=0,p{a}_1=a_0,\dots ,p{a}_n=a_{n-1},\dots .$ Еквівалентно цю групу можна описати як $\mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}.$

• Мультиплікативна група комплексних чисел ${ℂ}^{*}.$
• Прикладами некомутативних подільних груп є унітарні групи U(n). Кожна матриця із такої групи є діагоналізовною за допомогою унітарної матриці. Тоді якщо в усіх діагональних елементах взяти корінь довільного цілого степеня одержується унітарна матриця, що є коренем відповідного рівняння. Подібним чином подільними також є спеціальні унітарні групи SU(n) оскільки корені на діагоналі можна завжди обрати так щоб їх добуток був рівним 1.
• Мультиплікативна група кватерніонів ${ℍ}^{\times }=(ℍ\mathrm{\setminus }\{0\},\cdot )$ теж є некомутативною подільною групою. Зокрема одиничні кватерніони ізоморфні групі:

$\mathrm{SU}(2)=\{\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\bar{\beta }\\ \beta & \bar{\alpha }\end{array}\right):\alpha ,\beta \in 𝐂,|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1\},$

Ізоморфізм здійснюється за допомогою:

$\mathrm{𝟏}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),𝐢=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right),𝐣=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),𝐤=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right).$

Тому результат для кватерніонів є частковим випадком попереднього прикладу.

Властивості подільних груп

• Гомоморфні образи і факторгрупи подільної групи є подільними групами.

Якщо $\varphi :G\to H$ є гомоморфізмом груп то для елемента $\varphi (a)\in H$ елемент $\varphi (b)$ є розв'язком рівняння $x^n=\varphi (a),$ де b є розв'язком рівняння $x^n=a$ (він існує, оскільки G є подільною).

• Абелева група G є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є ін'єктивним об'єктом у категорії абелевих груп, тобто ін'єктивним $\mathbb{Z}$- модулем. З означення ін'єктивного модуля в термінах теорії груп це означає, що G є подільною тоді і тільки тоді, якщо для довільних абелевих груп $U\subset H$ і гомоморфізму $\varphi :U\to G$ існує гомоморфізм $\psi :H\to G,$ такий що $\psi {|}_U:\varphi .$

Якщо G не є подільною то існують $n\in \mathbb{N},g\in G,$ що рівняння $nx=g$ не має розв'язку. Нехай тепер $n\mathbb{Z}=U\subset H=\mathbb{Z}.$ Якщо задати гомоморфізм з U в G, для якого образом n є g, то для будь-якого продовження цього гомоморфізму на H образом 1 має бути елемент, що є розв'язком рівняння $nx=g.$ Оскільки такого елемента не існує, то і не існує відповідного продовження гомоморфізму і G не є ін'єктивним об'єктом.

Нехай тепер G є подільною. Розглянемо множину $\mathrm{\Phi }$ всіх підгруп у H, що містять U і для яких існує гомоморфізм що продовжує гомоморфізм $\varphi :U\to G.$ Ця множина непуста оскільки їй належить U. Будь-яка лінійно впорядкована підмножина e $\mathrm{\Phi }$ має верхню межу, що рівна об'єднанню підгруп. Тоді згідно леми Цорна у $\mathrm{\Phi }$ існує максимальний елемент H^' із гомоморфізмом ${\psi }^{\prime }:H^{\prime }\to G,$ що продовжує $\varphi$. Припустимо, що H^' є власною підгрупою у H і $h\in H\setminus H^{\prime }.$ Якщо $⟨h⟩\cap H^{\prime }=\{0\}$ то ${\psi }^{\prime }$ можна продовжити на Якщо $H^{\prime }+⟨h⟩$ взявши довільний образ для h. Якщо ж $⟨h⟩\cap H^{\prime }$ містить елемент nh де n — найменше з таких додатних чисел, то за образ h можна взяти розв'язок рівняння $x^n={\psi }^{\prime }(nh).$ В обох випадках існує продовження на більшу підгрупу, що суперечить максимальності. Отже H' = H і продовження існує на всю групу H. Тобто G є ін'єктивним об'єктом.

Зауваження. Умова комутативності в даному випадку є важливою. Єдиним ін'єктивним об'єктом категорії груп є одинична група.

• Абелева група є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є $p$-подільною при кожному простому $p$.
• Будь-яка пряма сума подільних абелевих груп є подільною групою.
• Кожна подільна підгрупа є прямим доданком групи.
• Кожна абелева група є ізоморфною підгрупі подільної абелевої групи.

Група $\mathbb{Z}$ є підгрупою подільної групи $\mathbb{Q},$ а тому пряма сума $(\oplus {\mathbb{Z}}_i{)}_{i\in I}$ є підгрупою $(\oplus {\mathbb{Q}}_i{)}_{i\in I},$ що є подільною групою, як пряма сума подільних груп. Оскільки будь-яка абелева група є факторгрупою деякої $(\oplus {\mathbb{Z}}_i{)}_{i\in I},$ то вона є підгрупою деякої факторгрупи $(\oplus {\mathbb{Q}}_i{)}_{i\in I},$ що є подільною, як факторгрупа подільної групи.

• Для кожної абелевої групи G існує єдина з точністю до ізоморфізму подільна група вкладення G в яку є істотним мономорфізмом. Ця група називається ін'єктивною оболонкою групи G. Ін'єктивна оболонка є мінімальним елементом за включенням серед подільних груп у які існує вкладення групи G.
• Будь-яка абелева група $A$ розкладається в пряму суму $A=D\oplus R$, де $D$ - подільна група (вона називається подільною частиною групи $A$), а $R$ - редукована група, тобто група, яка не містить ненульових подільних підгруп.
• Якщо $A$ є кільцем і $T$ подільною групою, то ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝐙}(A,T)$ є ін'єктивним $A$-модулем.

Будова подільних груп

Нехай G — подільна група. Тоді підгрупа кручення Tor(G) G є подільною. Оскільки подільна група є ін'єктивним модулем, Tor(G) є прямим доданком G. Тому

$G=\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)\oplus G/\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G).$

Як факторгрупа подільної групи G/Tor(G) є подільною. Також вона є групою без кручень і тому є векторним простором над Q. Тож існує множина I, для якої

$G/\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)={\oplus }_{i\in I}\mathbb{Q}={\mathbb{Q}}^{(I)}.$

Структура підгрупи кручення є складнішоюШаблон:SfnШаблон:Sfn. Для всіх простих чисел p існує множина $I_p$, для якої

$(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G){)}_p={\oplus }_{i\in I_p}\mathbb{Z}[p^{\mathrm{\infty }}]=\mathbb{Z}[p^{\mathrm{\infty }}{]}^{(I_p)},$

де $(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G){)}_p$ є p-примарна компонента Tor(G).

Якщо множину простих чисел позначити P, то:

$G=(\underset{p\in 𝐏}{⨁}\mathbb{Z}[p^{\mathrm{\infty }}{]}^{(I_p)})\oplus {\mathbb{Q}}^{(I)}.$

Потужності множин I і I_p для p∈P є однозначно визначеними G.

Див. також

• Вільна абелева група
• Ін'єктивний модуль
• Ін'єктивний об'єкт

Джерела

• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups
• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation