Переставні матриці

Квадратні матриці $A,B$ з комплексними елементами називаються переставни́ми (комутуючими), якщо

$AB=BA.$

Властивості

• Якщо матриці $A,B$ є переставними, то в них існує спільний власний вектор:

$AB=BA\Rightarrow \mathrm{\exists }v,{\lambda }_1,{\lambda }_2:Av={\lambda }_{1}v,Bv={\lambda }_{2}v.$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних матриць. Доведення за допомогою слабкої теореми Гільберта про нулі.

• Якщо матриці $A,B$ є переставними та нормальними, то в них всі власні вектори є спільними:

$\mathrm{\exists }U,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2:A=U{\mathrm{\Lambda }}_1{U}^{*},B=U{\mathrm{\Lambda }}_2{U}^{*},U^{*}U=I.$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.

• Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці $A,B$ є нормальними та переставними, тоді матриці:

$AB,A+B,kA$ — теж будуть нормальними та переставними.

• Над алгебраїчно замкнутим полем переставні матриці $A,B$ є одночасно приводимими до трикутного вигляду:

$\mathrm{\exists }P,L_1,L_2:A=P^{-1}{L}_{1}P,B=P^{-1}{L}_{2}P,\det (P)\ne 0.$

Приклад

• Одинична матриця є переставною зі всіма матрицями і тому має з кожною з них хоча б один спільний власний вектор.

Дивись також

• Теорія матриць
• Комутативність
• Комутатор (математика)

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра