Пентація

Пентація (гіпер-5) — ітераційна операція тетрації; подібно до того як тетрація є операцією ітераційного піднесення до степеня. Застосовується для опису великих чисел.

Термін пентація, складається зі слів пента- (п'ять) та ітерація, був уперше застосований англійським математиком Рубеном Гудштейном в 1947 році.

Нотація

Пентація може бути записана як гіпероператор $a[5]b$, або в нотації Кнута як $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ чи $a{\uparrow }^{3}b$. А також у нотації Конвея як $a\to b\to 3$.

Пентація як гіпероператор 5

Пентація є п'ятою по рахунку гіпероперацією.

1. додавання:

   $a+n=a+\underset{n}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}$

2. множення:

   $a\times n=\underset{n}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}$

3. піднесення до степеня:

   $a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$

4. тетрація:

   ${}^{n}a=\underset{n}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^a}}}}}$

5. пентація:

   ${}_{n}a=\underset{n}{\underbrace{{}^{{}^{{}^{{}^a\cdot }\cdot }a}a}}$

Кожна наступна операція представлена як ітерація попередньої.

Приклади

Результат пентації можна отримати з четвертого стовпця таблиці значень функції Акермана: якщо $A(n,m)$ визначена рекурентно, як $A(m-1,A(m,n-1))$ з початковими умовами $A(1,n)=an$ та $A(m,1)=a$, тоді $a\uparrow \uparrow \uparrow b=A(4,b)$.

• $1{\uparrow }^{3}b=1$
• $a{\uparrow }^{3}1=a$

Додатково можна визначити:

• $a{\uparrow }^{3}0=1$
• $a{\uparrow }^3-1=0$

Для невеликих натуральних чисел:

• $2{\uparrow }^{3}2={}^{2}2=2^2=4$
• $2{\uparrow }^{3}3={}^{{}^{2}2}2={}^{4}2=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65,536$
• $2{\uparrow }^{3}4={}^{{}^{{}^{2}2}2}2={}^{65,536}2=2^{2^{2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^2}}}}}$ (степенева вежа висотою 65,536 двійок) $\approx {\exp }_{10}^{65,533}(4.29508)$
• $3{\uparrow }^{3}2={}^{3}3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987$
• $3{\uparrow }^{3}3={}^{{}^{3}3}3={}^{7,625,597,484,987}3=3^{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}$ (степенева вежа висотою 7,625,597,484,987 трійок) $\approx {\exp }_{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)$
• $4{\uparrow }^{3}2={}^{4}4=4^{4^{4^4}}=4^{4^{256}}\approx {\exp }_{10}^3(2.19)$
• $5{\uparrow }^{3}2={}^{5}5=5^{5^{5^{5^5}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx {\exp }_{10}^4(3.33928)$

Джерела

• Goodstein, R. L. (1947), "Transfinite ordinals in recursive number theory", The Journal of Symbolic Logic, 12: 123–129, MR 0022537