Гіпероператор

Гіпероператор — нескінченна послідовність арифметичних операцій, що починається з унарної операції наступний елемент, а далі бінарні операції додавання, множення, піднесення до степеня, тетрація, пентація, …

$(S,+,\times ,\uparrow ,\uparrow \uparrow ,\dots ,{\uparrow }^{n-2})$

Був запропонований англійським математиком Рубеном Гудштейном 1947 року.

Визначення

Послідовність гіпероперацій — послідовність бінарних операцій $H_n:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ з індексом $n\in \mathbb{N}$ визначається рекурсивно:

$H_n(a,b)=\{\begin{array}{cc}b+1& n=0\\ a& n=1,b=0\\ 0& n=2,b=0\\ 1& n\ge 3,b=0\\ H_{n-1}(a,H_n(a,b-1))& \end{array}$

Ця рекурсивна формула узагальнює послідовність формул:

$H_0(a,b)=1+b=1+(1+(b-1)$ (наступний елемент),

$H_1(a,b)=a+b=1+(a+(b-1)$ (додавання),

$H_2(a,b)=a\times b=a+(a\times (b-1))$ (множення),

$H_3(a,b)=a^b=a\times (a^{(b-1)})$ (піднесення до степеня),

$H_4(a,b)={}^{b}a$ (тетрація)

$H_5(a,b)={}_{b}a$ (пентація)

Позначення

Назва	Позначення для $H_n(a,b)$
нотація Кнута	$a{\uparrow }^{n-2}b$
нотація Конвея	$a\to b\to (n-2)$
позначення Гудштейна	$G(n,a,b)$
	$\text{hyper}(a,n,b)$
	$a{\otimes }^{n}b$
	$a\begin{array}{c}n\end{array}b$
	$a{}^{(n)}b$
	$a{}_{(n)}b$
	$a[n]b$

Див. також

• Великі числа

Посилання

• Home of Tetration