Обмежений оператор

Оператор $A:X\to Y$ між двома топологічними векторними просторами називається обмеженим, якщо кожну обмежену множину топологічного векторного простору $X$ він переводить в обмежену множину топологічного векторного простору $Y$.

Дане означення можна застосовувати до лінійних і нелінійних операторів. Будь-який неперервний оператор є обмеженим.

Лінійний обмежений оператор

Для лінійного оператора часто наводять інші означення:

• Лінійний оператор $A:X\to Y$ називається обмеженим, якщо існує такий окіл нуля $U$, що $A(U)$ є обмеженою множиною в $Y$.
• Лінійний оператор $A:X\to Y$ між нормованими просторами називається обмеженим, якщо існує таке додатне число $C$, що $\Vert Ax\Vert \le C\Vert x\Vert$. Найменше з таких чисел $C$ позначають через $\Vert A\Vert$ і називають нормою оператора $A$. Іншими словами,

$\Vert A\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert Ax\Vert$

Зв'язок між обмеженістю і неперервністю

• Справедливою є теорема про те, що лінійний обмежений оператор, який діє із одного F-простору в інший є неперервним. Також це твердження буде справедливим для лінійного оператора $A:X\to Y$ із борнологічного простору $X$ у локально опуклий простір $Y$.
• Навпаки, будь-який неперервний оператор є обмеженим. Таким чином

Див. також

• Лінійний неперервний оператор

Джерела

• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1