Обмежена множина

Обмежена множина у математичному аналізі, і прилеглих розділах математики — множина, яка у певному сенсі має скінченний розмір. Базовим є поняття обмеженості числової множини, яке узагальнюється на випадок довільного метричного простору, а також на випадок довільної частково упорядкованої множини. Поняття обмеженості множини не має сенсу у загальних топологічних просторах, без метрики.

Обмежена числова множина

Множина дійсних чисел $X\subset ℝ$ називається обмеженою зверху, якщо існує число $b$, таке що всі елементи $X$ не перевищують $b$:

$\mathrm{\exists }b\mathrm{\forall }x(x\in X\Rightarrow x⩽b)$

Множина дійсних чисел $X\subset ℝ$ називається обмеженою знизу, якщо існує число $b$, таке що всі елементи $X$ не менше $b$: $\mathrm{\exists }b\mathrm{\forall }x(x\in X\Rightarrow x⩾b)$

Множина $X\subset ℝ$, обмежена зверху і знизу, називається обмеженою.

Множина $X\subset ℝ$, що не є обмеженою, називається необмеженою. Як випливає з означення, множина не обмежена тоді й тільки тоді, коли вона не обмежена зверху або не обмежена знизу.

Прикладом обмеженої множини є відрізок $[a,b]=\{a⩽x⩽b\}$,

необмеженої — множина всіх цілих чисел $\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$,

обмеженої зверху, але необмеженої знизу — промінь $x<0$,

обмеженої знизу, але необмеженої зверху — промінь $x>0$.

Варіації та узагальнення

Обмежена множина у метричному просторі

Нехай $(X,\rho )$ — метричний простір. Множина $M\subset X$ називається обмеженої, якщо вона міститься у деякій кулі $B_r(a)$:

$\mathrm{\exists }a\in X\mathrm{\exists }(r>0)\mathrm{\forall }x\in X(x\in M\Rightarrow \rho (a,x)<r)$

Множина, що не є обмеженою, називається необмеженою.

На відміну від числової прямої, у довільному метричному просторі можна ввести поняття обмеженої зверху й обмеженої знизу множин.

Крім поняття обмеженої множини для довільного метричного простору існує більш спеціальне поняття цілком обмеженої множини. У випадку числових множин це поняття збігається з поняттям обмеженої множини.

Обмеженість у частково впорядкованій множині

Поняття обмеженої зверху, обмеженої знизу і просто обмеженої множини можна ввести у довільній частково впорядкованій множині. Ці визначення буквально повторюють відповідні визначення для числових множин.

Нехай $(P,⩽)$ — частково впорядкована множина, $S\subset P$. Множена $S$ називається обмеженою зверху, якщо

$\mathrm{\exists }b\mathrm{\forall }x(x\in S\Rightarrow x⩽b)$

обмеженою знизу, якщо

$\mathrm{\exists }b\mathrm{\forall }x(x\in S\Rightarrow x⩾b)$

Множина, обмежена і зверху і знизу, називається обмеженою.

Див. також

• Супремум
• Інфімум