Норма (теорія полів)

Но́рма — відображення елементів скінченного розширення L поля K в початкове поле K, що визначене таким чином:

Якщо L/K — скінченне розширення (воно буде алгебраїчним розширенням) степеня n=[L:K]; тоді довільний елемент a ∈ L визначає лінійне перетворення L:

x \mapsto a x .

Цьому перетворенню в деякому базисі e₁,e₂...e_n відповідає матриця A:

(αe₁, αe₂ ... αe_n)=(e₁,e₂...e_n)*A. Визначник цієї матриці називається нормою елементу α. Оскільки для іншого базису даному відображенню відповідатиме подібна матриця A'=CAC^-1 з тим же визначником det(A)=det(A'), то норма не залежить від вибраного базису. Вона позначається $N_{L / K} (a) .$

Властивості норми

$N_{L / K} (a) = 0 ⟺ a = 0$
$N_{L / K} (a) = a^{[L : K]}, \forall a \in K$
$N_{L / K} (a b) = N_{L / K} (a) \cdot N_{L / K} (b), \forall a, b \in L$ , зокрема є гомоморфізмом групи ненульових елементів поля L^× в групу K^×

N_{L / K} : L^{\times} \to K^{\times} .

Для полів M/L/K маємо:

N_{M / K} (a) = N_{L / K} (N_{M / L} (a))

(транзитивність норми)

Якщо L=K(α) і f(x)=xⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ — мінімальний многочлен, для α то $N_{L / K} (a) = (- 1)^{n} a_{0}$ . Тобто, якщо $α = α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ — всі корені цього многочлена, то $N_{L / K} (a) = (- 1)^{n} α_{1} \cdot α_{2} \cdot \dots \cdot α_{n} .$

Вираз норми через гомоморфізми L над K

Нехай σ₁,σ₂...σ_m — всі гомоморфізми L в алгебраїчне замикання поля K, що залишають нерухомими всі елементи K. Якщо L є сепарабельним то m рівне степеню [L:К]=n . Тоді для норми існує наступний вираз:

N_{L / K} (a) = \prod_{σ \in Gal (L / K)} σ (a) .

Якщо L є несепарабельним тобто m≠n — степені [L:K], в цьому випадку n кратно m, причому частка є деяким степенем характеристики p.

Тоді

N_{L / K} (a) = {(\prod_{i = 1}^{m} σ_{i} (a))}^{\frac{n}{m}}

Приклад

Нехай $ℝ$ — поле дійсних чисел, $ℂ$ — поле комплексних чисел, що розглядається як розширення $ℝ$ . Тоді норма елементу a+bi буде рівна a²+b²
Норма елементів розширення поля $ℚ (\sqrt{2}) / ℚ$ задається так:

a + b \sqrt{2} \mapsto a^{2} - 2 b^{2}

für

a, b \in ℚ

.

Норма елементів розширення поля $𝔽_{q^{n}} / 𝔽_{q}$ задається так:

x \mapsto x^{1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 1}} .

Література

Норма (теорія полів)

Зміст

Властивості норми

Вираз норми через гомоморфізми L над K

Приклад

Література

Навігаційне меню

Норма (теорія полів)

Властивості норми

Вираз норми через гомоморфізми L над K

Приклад

Література

Навігаційне меню

Пошук