Нескінченний добуток

У математиці, для послідовності чисел $a_1,a_2,a_3,\dots$ нескінченний добуток

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1{a}_2{a}_3\dots$

визначається, як границя часткових добутків $a_1{a}_2\dots a_n$ при $n\to \mathrm{\infty }$. Добуток називається збіжним, коли границя існує і не рівна нулю. В іншому випадку добуток називається розбіжним. Випадок, в якому границя рівна нулю, розглядається окремо, для отримання результатів, аналогічних результатам для рядів.

Властивості

Якщо добуток є збіжним, тоді необхідно виконується гранична рівність $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=1$. Отже логарифм $\ln a_n$ визначений для всіх $n$, за винятком скінченного числа значень, існування яких не впливає на збіжність. Якщо всі члени послідовності $a_n$ додатні то виконується рівність:

$\ln \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln a_n,$

у якій збіжність ряду в правій частині рівносильна збіжності нескінченного добутку в лівій. Це дозволяє переформулювати критерій збіжності ряду в критерій збіжності нескінченних добутків. Для добутків, таких, що для будь-якого $n$ виконується $a_n⩾1$, позначимо $p_n=a_n-1$, тоді маємо $a_n=p_n+1$ і $p_n⩾0$, звідки слідує нерівність:

$1+\sum _{n=1}^N{p}_n⩽\prod _{n=1}^N(1+p_n)⩽\exp \left(\sum _{n=1}^N{p}_n\right)$

яка показує, що нескінченний добуток $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ збігається тоді і тільки тоді, коли збігається ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n$.

У випадку $0<a_n<1$ для будь-якого $n$ збіжність нескінченного добутку $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ також еквівалентна збіжності ряду $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n$. У загальному випадку збіжность рядів $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n$ і $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n^2$ є достатньою умовою збіжності $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$.

Приклади

Найбільш відомі приклади нескінченних добутків, деякі формули для $\pi$, такі як наступні два нескінченні добутки, доведені відповідно Франсуа Вієтом і Джоном Валлісом

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$

$\frac{\pi }{2}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)$

Представлення функції у вигляді нескінченного добутку

Один важливий результат про нескінченні добутки — те, що будь-яка ціла функція $f$, з коренями $\{0\}\cup \{a_n\}$, де точка 0 — корінь порядку $\lambda$, може бути представлена у вигляді нескінченного добутку виду

$f(z)=z^{\lambda }{e}^{h(z)}\prod _1^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z}{a_n})\exp (\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^2+\dots +\frac{1}{p_n}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^{p_n})$,

де $h$ — деяка ціла функція, а невід'ємні цілі числа $p_n$ підібрані так, щоб ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^{p_n+1}$ сходився. При $p_n=0$ відповідна множнику номер $n$ експонента опускається (вважається рівною $\exp (0)=1$).

Приклади

Синус	$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2})$
Гамма-функція	$1/\mathrm{\Gamma }(z)=z{\text{e}}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{n}){\text{e}}^{-z/n}$
Сигма-функція Вейєрштрасса	$\sigma (z)=z\prod _{\omega \in {\mathrm{\Lambda }}_{*}}(1-\frac{z}{\omega })e^{\frac{1}{2{\omega }^2}{z}^2+\frac{1}{\omega }z}$
Дзета-функція Рімана	$\zeta (z)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1-p_n^{-z})}$	де pn — послідовність простих чисел.

Див. також

• Формула Валліса

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:MathWorld