Нескінченна множина

Нескінченна множина — множина, що не є скінченною. Можна дати ще декілька еквівалентних означень нескінченної множини:

• Множина, в якій для будь-якого натурального числа $n$ знайдеться скінченна підмножина із $n$ елементів.
• Множина, в якій знайдеться зліченна підмножина.
• Множина, в якій знайдеться підмножина, рівнопотужна деякому (ненульовому) граничному ординалу.
• Множина, для якої існує бієкція з деякою його власною підмножиною.

Для будь-якої нескінченної множини існує множина з ще більшою потужністю — таким чином, не існує нескінченної множини найбільшої потужності. Потужності нескінченних множин називаються алефами і позначаються ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha },$ де індекс $\alpha$ пробігає всі порядкові числа. Потужності нескінченних множин складають цілком упорядкований клас — найменшою потужністю нескінченної множини є ${\mathrm{\aleph }}_0$ (алеф-0, потужність множини натуральних чисел), за ним слідують ${\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_2,\dots {\mathrm{\aleph }}_{\omega },{\mathrm{\aleph }}_{\omega +1},\dots {\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_1},\dots {\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_{{\omega }_1}},\dots$

Приклади

• Множини натуральних чисел $\mathbb{N},$ цілих чисел $\mathbb{Z},$ раціональних чисел $\mathbb{Q},$ дійсних чисел $ℝ,$ комплексних чисел $ℂ$ — є нескінченними множинами.
• Множина функцій $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ є нескінченною.
• Упорядкована нескінченна множина може мати «кінці» (мінімальний і максимальний елементи) — наприклад, множина раціональних чисел на відрізку $[0,1].$
• Сукупність усіх нескінченних підмножин зліченної множини є незліченною нескінченною множиною.

Див. також

• Нескінченність
• Потужність множини
• Аксіоматика теорії множин
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Континуум
• Континуум-гіпотеза

Джерела

• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств