Нелінійна апроксимація

Лінійна, особливо лінійна поліноміальна, апроксимація часто не відповідає характеру функції. Наприклад многочлен високого степеня швидко зростає при $|x|\to \mathrm{\infty }$; тому навіть нескладну функцію $y(x)=\frac{1}{1+x^2}$ многочлен погано аппроксимує на великому відрізку. Оскільки апроксимація проводиться в широкому інтервалі зміни аргументу використання нелінійної залежності від коефіцієнтів тут ще більш вигідно ніж при інтерполяції. На практиці використовують два види залежності. Один — квазілінійна залежність, що зводиться вирівнюючою заміною змінних $\eta (y)$, $\xi (x)$ до лінійної. Цей спосіб дуже ефективний і часто використовується при обробці експерименту, тому що апріорні дані про фізику процесу допомагають знайти хорошу заміну змінних $\eta =\lg y$ і $𝑡$, де y(x) — швидкість розпаду. В цих змінних крива зазвичай апроксимується апроксимується ламаною ланки якої відповідають розпаду все більш довгоживучих членів радіоактивного ряду. Другий застосовуваний вигляд залежності від коефіцієнтів — дробово-лінійна, коли апроксимуюча функція раціональна:

$\phi (x)=P_n(x)/Q_m(x)=(\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k)/(\sum _{q=0}^m{b}_q{x}^q)$.

Нерідко використовується і відношення узагальнених многочленів. Така апроксимація дозволяє передати полюси функції у(х) — їм відповідають нулі знаменника потрібної кратності. Часто можна відтворити асимптотичну поведінку y(x) при $x\to \mathrm{\infty }$ за рахунок відповідного вибору иуличини n-m;наприклад, якщо $y(\mathrm{\infty })=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡\ne 0$,то потрібно покласти n=m.При цьому самі n, m можна брати достатньо великими, щоб мати багато коефіцієнтів апроксимації. Однак квадрати похибки $||y-P_n/Q_m|{|}_{L_2}^2$ вже не будуть квадратичною функцією коефіцієнтів, так що знайти коефіцієнти раціональної функції нелегко. Можна за аналогією з середньоквадратичною апроксимацією многочленами висунути гіпотезу, що похибка $y(x)-[P_n(x)/Q_m(x)]$ має на [a, b] число нулів, не менше числа вільних коефіцієнтів. Тоді задача зводиться до лагранжевої інтерполяції по цих нулях $x_p$ і коефіцієнти $a_k$, $b_q$ знаходяться з системи лінійних рівнянь:

$y(x_p)\sum _{q=0}^m{b}_q{x}_p^q=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}_p^k$, $0\le p\le n+m;b_0=1$.
Зрозуміло, що точне положення нулів невідоме; їх обирають випадково, зазвичай рівномірно розподіляючи на відрізку [a, b]. Цей спосіб називають методом обраних точок. Отримане методом наближення $\phi (x)$ зовсім не буде найкращим. Окрім того, метод обраних точок не розумне вирішення, як і всяка інтерполяція, якщо $y(x_p)$ мають помітну похибку.

Найкраще наближення можна знайти методом ітерованої ваги. Підмітимо, що задача $||Q_m(x)y(x)-P_n(x)|{|}_{L_2}^2=min$ легко розв'язується:вираз, що стоїть справа є квадратичною функцією коефіцієнтів $a_k,b_q$, і диференціювання по них приводить до лінійної системи для визначення коефіцієнтів. Нова задача відрізняється від вихідної по суті тим, що замість ваги $\rho (x)$ використовується інша вага $\rho (x)Q(x{)}_m^3$, тому її розв'язок не є найкращим наближенням. Запишемо вихідну задачу в новій формі: $||y-(P_n/Q_m)|{|}_{L_2}^2=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overline{\rho }(x)[Q(x{)}_{m}y(x)-P(x{)}_n{]}^2,dx=min$,
$\overline{\rho }(x)=\rho (x)/Q(x{)}_m^3$,
і будемо розв'язувати її простим ітераційним процесом

${\overline{\rho }}^{(s)}(x)=\rho (x)[Q_m^{(s-1)}(x){]}^2$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}[{\overline{\rho }}^{(s)}(x)y(x)-P_n^{(s)}(x){]}^{2}dx=min$;

за нульове наближення можна взяти $Q_m^{(0)}(x)\equiv 1$. На кожній ітерації вага відома по попередній ітерації, тому коефіцієнти $a_k^{(s)},b_q^{(s)}$ легко знаходяться з умови мінімуму квадратичної форми. Практика показує, що коефіцієнти найкращого наближення слабко залежать від вибору ваги, тому зазвичай ітерації збігаються швидко.

Джерела

• Н. Н. Калиткин Численные методы