Напіврегулярний простір

Напіврегулярним простором називається топологічний простір у якому регулярні відкриті множини (тобто множини які є рівними внутрішності свого замикання) утворюють базу топології. Якщо X є довільним простором, то простір $X_s$ породжений регулярними відкритими множинами простору X називається напіврегуляризацією X. У цих позначеннях X є напіврегулярним, якщо $X_s=X.$

Приклади

• Кожен регулярний простір X є напіврегулярним.

Очевидно, що весь простір X є регулярною відкритою множиною. Нехай тепер $O_1,O_2$ — регулярні відкриті множини і $x\in O_1\cap O_2.$ Тоді, згідно із одним із означень регулярного простору, існує відкрита множина $U$ для якої $x\in U\subseteq \overline{U}\subseteq O_1\cap O_2.$ Позначаючи через $V$ внутрішність множини $\overline{U}$ отримаємо, що $V$ є регулярною відкритою множиною і $x\in V\subseteq \overline{U}\subseteq O_1\cap O_2.$ Подібним чином для відкритої множини $O$ і $x\in O$ можна знайти регулярну відкриту множину $V$ для якої $x\in V\subseteq O.$ Отже регулярні відкриті множини у цьому випадку дійсно утворюють базу топології.

• Натомість напіврегулярні простори можуть не бути регулярними. Прикладами гаусдорфових напіврегулярних просторів, що не є регулярними є спрощений квадрат Аренса і топологія ірраціонального схилу.
• Екстремально незв'язний напіврегулярний простір є регулярним.

Властивості

• Кожен топологічний простір можна вкласти у напіврегулярний простір. Для цього, наприклад, на множині $X\times I$ можна ввести топологію за допомогою околів. Якщо $y>0$ то околами точки $(x,y)$ є інтервальні околи $\{(x,z)|y-\epsilon <z<y+\epsilon \}.$ Для $y=0$ околами точки $(x,0)$ будуть $\{(x^{\prime },z)|x^{\prime }\in U,0⩽z<{\epsilon }_{x^{\prime }}\},$ де $U$ — деякий окіл точки x і для кожного $x^{\prime }\in U$ число ${\epsilon }_x$ є деяким малим додатнім числом. Отриманий таким чином простір є напіврегулярним і X є гомеоморфним замкнутому ніде не щільному підпростору $\{(x,0)|x\in X\}.$

Як наслідок, підпростір напіврегулярного простору може не бути напіврегулярним. Тобто властивість напіврегулярності не є спадковою.

• Якщо $U\subset X$ є відкритою підмножиною напіврегулярного простору, то U є напіврегулярним простором. Тобто властивість напіврегулярності є відкрито спадковою.
• Нехай $D\subset X$ є щільною підмножиною. Тоді $D_s$ є щільною підмножиною $X_s$ і, як наслідок, властивість напіврегулярності успадковується на щільних підмножинах.
• Об'єднання двох напіврегулярних топологічних просторів може не бути напіврегулярним простором. Наприклад можна розглянути простір ${ℝ}^{\prime }$ на множині дійсних чисел із топологією, що є мінімальним розширенням звичайної топології при якому множина раціональних чисел є відкритою. Для $a,b\in ℝ$ і $a<b,$ то внутрішність замикання множини $(a,b)\cap \mathbb{Q}$ є рівною $(a,b).$ Оскільки $(a,b)\subset ̸\mathbb{Q}$ то відкрита множина $\mathbb{Q}$ не містить жодної регулярної відкритої множини. Тому простір ${ℝ}^{\prime }$ не є напіврегулярним. Натомість підпростори $\mathbb{Q}$ і $ℝ\setminus \mathbb{Q}$ простору ${ℝ}^{\prime }$ мають ту ж топологію, як і при розгляді їх як підпросторів $ℝ.$ Тому вони є регулярними і тому також і напіврегулярними.

Див. також

• Регулярний простір

Література

• Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book