Напівгрупа

Кубічна ґратка алгебричних структур
від магми до групи.

Напівгрупа — алгебрична структура в абстрактній алгебрі з непорожньої множини та асоціативної бінарної операції (тобто, асоціативна магма).

Відрізняється від групи тим, що для елементів множини може не існувати оберненого елемента і навіть може не існувати нейтрального елемента (одиниці).

Моноїд — напівгрупа з нейтральним елементом. Довільну напівгрупу можна перетворити в моноїд, добавивши до неї деякий елемент e і визначивши es = se = s для всіх елементів моноїда.

Гомоморфізм напівгруп

• Гомоморфізм між двома напівгрупами $(S,\ast )$ та $(S^{\prime },\bullet )$ є функція $f:S\to S^{\prime }$ така, що

$\mathrm{\forall }x,y\in S:f(x\ast y)=f(x)\bullet f(y)$.

• Якщо функція $f$ бієктивна, то це ізоморфізм напівгруп.

Структура напівгрупи

Шаблон:Main Якщо $A,B\subset S$, то позначають $AB=\{ab:a\in A,b\in B\}$

• Підмножина A напівгрупи S називається під-напівгрупою, якщо вона замкнута відносно групової операції. Тобто AA ⊆ A. Перетином під-напівгруп в S є під-напівгрупа в S.

• Якщо підмножина A непорожня та AS (SA) ⊆ A, то A називають правим (лівим) ідеалом. Якщо A є одночасно лівим і правим ідеалом, то його називають двохстороннім ідеалом, чи просто ідеалом.

• Перетином під-напівгруп( чи ідеалів) є під-напівгрупа (чи ідеал); з чого слідує, що напівгрупа або має мінімальну під-напівгрупу (чи ідеал) або не має їх зовсім.

• Якщо в комутативній напівгрупі є найменший ідеал, то він є групою.

Прикладом напівгрупи без найменшого ідеала є натуральні числа з операцією додавання.

Приклади

• Натуральні числа $\mathbb{N}$ з операцією додавання є напівгрупою.
• Натуральні числа $\mathbb{N}$ з операцією множення є напівгрупою.
• Цілі числа $\mathbb{Z}$ з операцією множення є моноїдом.
• Ідеал кільця є напівгрупою відносно множення.
• Множина квадратних матриць розміру n з операцією множення є моноїдом.

Див. також

• Конкатенація

Джерела

• Шаблон:Курош.Общая алгебра
• Шаблон:Кон.Универсальная алгебра
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups