Міра ірраціональності

Міра ірраціональності дійсного числа $α$ — це дійсне число $μ$ , що показує, наскільки добре $α$ можна наблизити раціональними числами.

Визначення

Нехай $α$ — дійсне число, і нехай $M (α)$ — множина всіх чисел $μ$ таких, що нерівність $0 < | α - \frac{p}{q} | < \frac{1}{q^{μ}}$ має лише скінченне число розв'язків у цілих числах $p$ і $q > 0$ :

M (α) = {μ > 0 : (\exists q_{0} = q_{0} (μ, α)) (\forall p, q \in ℤ) q > q_{0} \Rightarrow | α - \frac{p}{q} | > \frac{1}{q^{μ}} \lor | α - \frac{p}{q} | = 0} .

Тоді міра ірраціональності $μ (α)$ числа $α$ визначається як точна нижня грань $M (α)$ :

μ (α) = \inf M (α) .

Якщо $M (α) = \emptyset$ , то вважають $μ (α) = + \infty$ .

Іншими словами, $μ$ — найменше число, таке, що для будь-якого $ε > 0$ для всіх раціональних наближень $\frac{p}{q}$ з досить великим знаменником $| α - \frac{p}{q} | > \frac{1}{q^{μ + ε}}$ .

Можливі значення міри ірраціональності

$μ (α) = 1$ тоді й лише тоді, коли $α$ — раціональне число.
Якщо $α$ — алгебричне ірраціональне число, то $μ (α) = 2$ .
Якщо $α$ — трансцендентне число, то $μ (α) ⩾ 2$ . Зокрема, якщо $μ (α) = + \infty$ , то число $α$ називають числом Ліувілля.

Зв'язок з ланцюговими дробами

Якщо $α = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots]$ — розклад числа $α$ в ланцюговий дріб, і $\frac{p_{n}}{q_{n}}$ — $n$ -а відповідний ланцюговий дріб, то

μ (α) = 1 + lim sup \limits_{n \to + \infty} \frac{\ln q_{n + 1}}{\ln q_{n}} = 2 + lim sup \limits_{n \to + \infty} \frac{\ln a_{n + 1}}{\ln q_{n}} .

За допомогою цієї формули особливо легко знайти міру ірраціональності для квадратичних ірраціональностей, оскільки розклади їх у ланцюгові дроби періодичні. Наприклад, для золотого перетину $φ = [1; 1, 1, \dots]$ , і тоді $μ (φ) = 2$ .

Теорема Туе — Зігеля — Рота

За лемою Діріхле, якщо $α$ ірраціональні, то для будь-якого цілого q знайдеться ціле p таке, що $| α - \frac{p}{q} | < \frac{1}{q^{2}}$ , тобто $μ (α) ⩾ 2$ . 1844 року Ліувілль довів теорему про те, що для будь-якого алгебричного числа $α$ мірою $n$ можна підібрати константу $c = c (α)$ таку, що $| α - \frac{p}{q} | ⩾ \frac{c}{q^{n}}$ . 1908 року Туе посилив цю оцінку. Подальші результати в цьому напрямку отримали Зігель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Найточнішу оцінку довів Рот у 1955 році. Отриману теорему називають теоремою Туе — Зігеля — Рота. Вона стверджує, що якщо $α$ — алгебричне ірраціональне число, то $μ (α) = 2$ . Рот за її доведення отримав філдсівську премію.