Модуль над кільцем

Шаблон:Алгебричні структури Модуль над кільцем — алгебрична структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:

векторного простору (це модуль над полем);
комутативної групи (це модуль над кільцем цілих чисел $ℤ$ );
ідеала кільця (це модуль, що є підкільцем).

Назви ідеал та модуль походять з модульної арифметики, а саме з кратності за модулем.

Ідеалом кільця є його підкільце замкнене відносно множення на елементи кільця. Наприклад: числа кратні $n$ серед всіх цілих чисел.

Багато результатів для ідеалів є справедливими, якщо прибрати множення, а залишити тільки кратність елементів, тобто, замінити підкільце до незалежну комутативну групу.

Визначення

Коли задано кільце $R$ , то $R$ -модулем називається абелева група $(M, +)$ з додатковою операцією множення на елементи кільця $R \times M \to M$ ,

що задовільняє умови дистрибутивності та асоціативності $\forall m_{1}, m_{2} \in M, r_{1}, r_{2} \in R :$

$r (m_{1} + m_{2}) = r m_{1} + r m_{2}$ ,
$(r_{1} + r_{2}) m = r_{1} m + r_{2} m$ ,
$(r_{1} r_{2}) m = r_{1} (r_{2} m)$ ,
$1_{R} \cdot m = m$ .

Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:

m (r_{1} r_{2}) = (m r_{1}) r_{2}

.

Підмодуль, ідеал та гомоморфізм

Підмодулем модуля $M_{R}$ називається підгрупа групи $M$ , замкнута відносно множення на елементи з $R$ .

Якщо кільце розглядати як (лівий) модуль над собою ( $R = M$ ), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.

Гомоморфізмом $R$ -модулів $A$ та $B$ називається гомоморфізм груп $f : A \to B$ , для якого виконується умова $f (r a) = r f (a) \forall a \in A, r \in R$ . Множину всіх таких гомоморфізмів позначають ${H o m}_{R} (A, B)$ .

Приклади

Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел ( $ℤ$ -модуль).
Лінійний простір над полем $F$ є модулем над полем $F$ .
Лінійний простір $V$ — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень $L (V)$ .

Історія

Найпростіші $ℤ$ -модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. У той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Еммі Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.

Див. також

Бімодуль

Джерела

Шаблон:Math-stub

Модуль над кільцем

Зміст

Визначення

Підмодуль, ідеал та гомоморфізм

Приклади

Історія

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Модуль над кільцем

Визначення

Підмодуль, ідеал та гомоморфізм

Приклади

Історія

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук