Многочлен Кауфмана

Многочлен Кауфмана — многочлен вузла від двох змінних, запропонований Шаблон:Нп. Спочатку був визначений на діаграмі зачеплень як:

$F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)$ ,

де $w(K)$ — закрученість діаграми зачеплення і $L(K)$ — многочлен, визнаячений на діаграмі зачеплення з такими властивостями:

• $L(O)=1$ ($O$ — тривіальний вузол);
• $L(s_r)=aL(s),L(s_{\ell })=a^{-1}L(s)$ ;
• $L$ не змінюється при застосуванні рухів Рейдемейстера типу II і III.

тут $s$ — нитка, а $s_r$ (відповідно, $s_{\ell }$) — та ж нитка з додаванням правого (відповідно, лівого) витка (використовуючи рух Рейдемейстера типу I).

Крім того, $L$ має задовольняти скейн-співвідношенню Кауфмана:

Малюнки представляють многочлен $L$ діаграм, які різні в колі, як показано, але ідентичні зовніШаблон:Уточнити

Кауфман показав, що $L$ існує і є Шаблон:Нп інваріантом неорієнтованих зачеплень. Звідки випливає, що $F$ є Шаблон:Нп інваріантом орієнтованих зачеплень.

Многочлен Джонса — особливий вид многочлена Кауфмана, коли $L$ звужується до дужки Кауфмана. Многочлен Кауфмана пов'язаний з Шаблон:Нп для $\mathrm{S}\mathrm{O}(N)$ так само, як многочлен HOMFLY пов'язаний з калібрувальною теорією Черна — Саймонса для $\mathrm{S}\mathrm{U}(N)$ .

Література

• Шаблон:Книга

Посилання

• Springer EoM entry for Kauffman polynomial Шаблон:Webarchive
• The_Kauffman_Polynomial Шаблон:Webarchive, the Knot Atlas