Матриця одиниць

Шаблон:Не плутати У математиці, матриця одиниць — це матриця, кожен елемент якої дорівнює одиниці. Приклади:

$J_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right);J_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right);J_{2,5}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right).$

Властивості

Для квадратної n×n-матриці одиниць J істинними є такі твердження:

• Слід матриці J дорівнює n, а визначник дорівнює 1 при n = 1, і 0 у всіх інших випадках.
• Ранг матриці J дорівнює 1.
• У матриці J тільки два власні значення: n (некратне) і 0 (кратності n-1).
• $J^k=n^{k-1}J$ для $k=1,2,\dots .$
• Матриця $\frac{1}{n}J$ є ідемпотентною.
• Експонента матриці одиниць подається у вигляді: $\exp (J)=I+\frac{e^n-1}{n}J.$
• J є одиничним елементом відносно добутку Адамара.

Див. також

• Бінарна матриця
• Нульова матриця
• Одинична матриця