Матриця Коші

В математиці, матриця Коші (названа в честь Огюстена Луї Коші) — це m×n-матриця з елементами вигляду:

$a_{ij}=\frac{1}{x_i-y_j};x_i-y_j\ne 0,1⩽i⩽m,1⩽j⩽n$

де $x_i$ та $y_j$ є елементами поля $ℱ$, а послідовності $(x_i)$ та $(y_j)$ таких елементів є ін'єкційними (не містять повторюваних елементів).

Матриця Гільберта є окремим випадком матриці Коші при

$x_i-y_j=i+j-1.$

Кожна підматриця (матриця, яка виходить в результаті викреслювання певного рядка і стовпця) матриці Коші також є матрицею Коші.

Визначники Коші

Визначник квадратної матриці Коші є раціональної функцією параметрів $(x_i)$ та $(y_j)$. Якщо ці послідовності не ін'єктівні, то визначник дорівнює нулю. Якщо деякі $x_i$ прямують до $y_j$, то визначник прямує до нескінченності. Таким чином, частина множин нулів і полюсів визначника Коші заздалегідь відома. Насправді інших нулів і полюсів немає.

Явний вигляд визначника квадратної матриці Коші A, або просто визначник Коші:

$\det 𝐀=\frac{\prod _{i=2}^n\prod _{j=1}^{i-1}(x_i-x_j)(y_j-y_i)}{\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^n(x_i-y_j)}$     (Schechter 1959, eqn 4).

Він завжди не дорівнює нулю, таким чином, матриці Коші є оборотними. Обернена матриця A⁻¹ =B= [b_ij] має вигляд:

$b_{ij}=(x_j-y_i)A_j(y_i)B_i(x_j)$     (Schechter 1959, Theorem 1)

де A_i(x) и B_i(x) — многочлени Лагранжа для послідовностей $(x_i)$ і $(y_j)$, відповідно. Тобто

$A_i(x)=\frac{A(x)}{A^{\prime }(x_i)(x-x_i)}$ і $B_i(x)=\frac{B(x)}{B^{\prime }(y_i)(x-y_i)},$

де

$A(x)=\prod _{i=1}^n(x-x_i)$ і $B(x)=\prod _{i=1}^n(x-y_i).$

Узагальнення

Матриця C називається матрицею типу Коші, якщо вона має вигляд

$C_{ij}=\frac{r_i{s}_j}{x_i-y_j}.$

Позначивши X=diag(x_i), Y=diag(y_i), отримаємо, що матриці типу Коші (зокрема, просто матриці Коші) задовольняють зміщеному рівнянню:

$𝐗𝐂-𝐂𝐘=r{s}^{\mathrm{T}}$

(в разі матриць Коші $r=s=(1,1,\dots ,1)$). Відповідно матриці типу Коші мають загальну зміщену структуру, що може бути використано при роботі з такими матрицями. Наприклад, відомі алгоритми для

• наближеного множення матриці Коші на вектор за $O(n\log n)$ операцій,
• LU-розкладання за $O(n^2)$ операцій (алгоритм GKO), і відповідний алгоритм рішення систем лінійних рівнянь з такими матрицями,
• нестійкі алгоритми для вирішення систем лінійних рівнянь за $O(n{\log }^{2}n)$ операцій.

Через $n$ позначений розмір матриці (зазвичай мають справу з квадратними матрицями, хоча всі вищенаведені алгоритми легко можуть бути узагальнені на прямокутні матриці).

Див. також

• Матриці Тепліца

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal