Логіка Лукашевича

Логіка Лукашевича — багатозначна логіка, як спочатку була визначена Яном Лукашевичем як тризначна логіка, а потім узагальнена до скінченної n-значної логіки, та до нескінченної дійснозначної логіки як для числення висловлень та логіки першого порядку.

Операціями логіки Лукашевича є:

імплікація $\to$

заперечення $\mathrm{\neg }$

еквівалентність $\leftrightarrow$

слаба кон'юнкція $\wedge$

сильна кон'юнкція $\otimes$

слаба диз'юнкція $\vee$

сильна диз'юнкція $\oplus$

та константи $\bar{0}$ та $\bar{1}$.

Наявність слабої та сильної кон'юнкції та диз'юнкції є загальною рисою всіх підструктурних логік без правила скорочення, до яких належить логіка Лукашевича.

Аксіоми

Початкова система аксіом для нескінченно-значної логіки висловлень Лукашевича використовувала імплікацію та заперечення як основні логічні операції:

$A\to (B\to A)$

$(A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))$

$((A\to B)\to B)\to ((B\to A)\to A)$

$(\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A)\to (A\to B).$

Дійснозначний випадок

У дійснозначній логіці Лукашевича логічними значеннями є дійсні числа від 0 до 1. Операції визначаються як функції:

• Імплікація: $F_{\to }(x,y)=\min \{1,1-x+y\}$
• Еквівалентність: $F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|$
• Заперечення: $F_{\mathrm{\neg }}(x)=1-x$
• Слабка кон'юнкція: $F_{\wedge }(x,y)=\min \{x,y\}$
• Слабка диз'юнкція: $F_{\vee }(x,y)=\max \{x,y\}$
• Сильна кон'юнкція: $F_{\otimes }(x,y)=\max \{0,x+y-1\}$
• Сильна диз'юнкція: $F_{\oplus }(x,y)=\min \{1,x+y\}.$