Логарифмічний потенціал

Логарифмічний потенціал — функція, визначена в ℝ² як згортка узагальненої функції ρ з функцією -ln|z|:

$V=-\rho \ln |z|.$

Логарифмічний потенціал задовольняє рівняння Пуассона V = −2πρ. За аналогією з ньютонівським потенціалом можна розглядати три окремі випадки логарифмічного потенціалу.

Фізичний зміст

Фізичний зміст логарифмічних потенціалів полягає в тому, що вони відповідають потенціалу, який створюють заряди (або маси) у двовимірній електростатиці (або двовимірній ньютонівській гравітації), розподілені з (двовимірною) густиною ρ. З точки зору звичайної тривимірної електростатики, йдеться про електростатичний потенціал, який створює розподіл зарядів, що має трансляційну симетрію за однією з просторових осей (за віссю, ортогональною до площини, декартові координати на якій є компоненти вектора z, або його дійсна і уявна частина, якщо вважати z комплексним числом), іншими словами, розподіл зарядів, що не залежить від третьої координати, сталий за нею (потенціал зарядженої нитки).

Потенціал площі

$V(z)=\underset{G}{\iint }\rho (\zeta )\ln \frac{1}{|z-\zeta |}d\xi d\eta ,\zeta =\xi +i\eta .$

Якщо $\rho (z)\in C(\bar{G})$, то сам потенціал $V(z)\in C^1({ℝ}^2)$ гармонічний в ${ℝ}^2\setminus G$ і

$V(z)=\ln \frac{1}{|z|}\underset{G}{\iint }\rho (\zeta )d\xi d\eta +O\left(\frac{1}{|z|}\right),|z|\to \mathrm{\infty }.$

Тут, як це часто роблять, маємо на увазі подання ${ℝ}^2$ як комплексної площини; втім, у межах визначень це несуттєво, й у цьому сенсі тут можна всюди замінити комплексні змінні $\zeta ,z$ просто двовимірними векторами, а модуль комплексного числа — евклідовою нормою ${ℝ}^2$, а якщо $\rho$ також комплексна, можна розглядати окремо її дійсну та уявну частини.

Логарифмічний потенціал простого шару

$V^{(0)}(z)=\mu {\delta }_S\ln \frac{1}{|z|}=\underset{S}{\int }\mu (\zeta )\ln \frac{1}{|z-\zeta |}d{S}_{\zeta }.$

Якщо $\mu (z)\in C(S)$, то сам потенціал $V^{(0)}(z)\in C({ℝ}^2)$ гармонічний в ${ℝ}^2\setminus S$ і

$V^{(0)}(z)=\ln \frac{1}{|z|}\underset{S}{\int }\mu (\zeta )d{S}_{\zeta }+O\left(\frac{1}{|z|}\right),|z|\to \mathrm{\infty }.$

Якщо S — крива Ляпунова, то потенціал має похідні, причому на самій кривій спостерігається їх розрив:

$\left(\frac{\partial V^{(0)}}{\partial 𝐧}\right){|}_{+}=-\pi \mu (z)+\frac{\partial V^{(0)}(z)}{\partial 𝐧},$

$\left(\frac{\partial V^{(0)}}{\partial 𝐧}\right){|}_{-}=\pi \mu (z)+\frac{\partial V^{(0)}(z)}{\partial 𝐧}.$

Логарифмічний потенціал подвійного шару

$V^{(1)}(z)=-\ln \frac{1}{|z|}*\frac{\partial }{\partial 𝐧}(\nu {\delta }_S)=\underset{S}{\int }\nu (\zeta )\frac{\partial }{\partial 𝐧}(\ln \frac{1}{|z-\zeta |})d{S}_{\zeta }=\underset{S}{\int }\nu (\zeta )\frac{\cos \phi }{|z-\zeta |}d{S}_{\zeta },$

де φ — кут між нормаллю в точці ζ і радіус-вектором, проведеним у цю точку з точки z.

Якщо $\nu (z)\in C(S)$, то сам потенціал $V^{(1)}(z)$ гармонічний у ${ℝ}^2\setminus G$ і

$V^{(1)}(z)=O\left(\frac{1}{|z|}\right),|z|\to \mathrm{\infty }.$

Якщо S — крива Ляпунова, то:

$V^{(1)}\in C(\bar{G})\cap C(S)\cap C({ℝ}^2\setminus G)$

і

$V_{+}^{(1)}(z)=\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),$

$V_{-}^{(1)}(z)=-\pi \nu (z)+V^{(1)}(z).$

Якщо, до того ж, густина — стала величина, потенціал дорівнює

$V^{(1)}=\{\begin{array}{c}-2\pi \nu ,z\in G,\\ -\pi \nu ,z\in S,\\ 0,z\in {ℝ}^2\setminus \bar{G}.\end{array}$

Див. також

• Задача Діріхле
• Граничні умови Неймана
• Крайова задача
• Ньютонівський потенціал
• Теорія потенціалу

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга