Логарифмічна похідна

Шаблон:Без джерелВ математиці, особливо в математичному і комплексному аналізі логарифмічна похідна функції f визначається формулою

$(\ln f{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}$,

де f ′ похідна функції f.

Коли f функція f(x) від дійсної змінної x, і приймає дійсні, строго додатні значення, логарифмічна похідна дорівнює похідній від ln(f); або, похідній натурального логарифма f. Це випливає з ланцюгового правила.

Основні властивості

Багато властивостей дійсного логарифма також присутні і у логарифмічної похідної, навіть тоді коли функція приймає не тільки додатні дійсні значення. Наприклад, тому що логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів множників

$(\log uv{)}^{\prime }=(\log u+\log v{)}^{\prime }=(\log u{)}^{\prime }+(\log v{)}^{\prime }.$

Таким чином для додатно-дійсних функцій, логарифмічна похідна добутку - це сума логарифмічних похідних множників. Також можна використати тотожність Лейбніца для знаходження похідної добутку:

$\frac{(uv{)}^{\prime }}{uv}=\frac{u^{\prime }v+u{v}^{\prime }}{uv}=\frac{u^{\prime }}{u}+\frac{v^{\prime }}{v}.$

Таким чином, для будь-яких функцій логарифмічна похідна добутку - це сума логарифмічних похідних множників (де вони визначені).

Аналогічно, (в дійсності це наслідок), логарифмічна похідна оберненої функції є логарифмічна похідна первісної функції помножена на $-1$:

$\frac{(1/u{)}^{\prime }}{1/u}=\frac{-u^{\prime }/u^2}{1/u}=-\frac{u^{\prime }}{u},$

як і у випадку із логарифмом оберненого додатного числа.

Логарифмічна похідна ділення - це різниця логарифмічних похідних діленого і дільника:

$\frac{(u/v{)}^{\prime }}{u/v}=\frac{(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })/v^2}{u/v}=\frac{u^{\prime }}{u}-\frac{v^{\prime }}{v},$

як і логарифм дробу дорівнює різниці діленого і дільника.

Логарифмічна похідна степеня (з константним дійсним показником) є добутком показника і логарифмічної похідної основи:

$\frac{(u^k{)}^{\prime }}{u^k}=\frac{k{u}^{k-1}{u}^{\prime }}{u^k}=k\frac{u^{\prime }}{u},$

як і логарифм степеня є добутком показника і логарифма основи.