Лема Шаунеля

У абстрактній алгебрі лемою Шаунеля називається твердження про властивості проективних модулів.

Твердження

Нехай $R$ є кільцем і послідовності $R$-модулів нижче є точними:

$0\to K\to P\stackrel{\phi }{\to }M\to 0$

$0\to K^{\prime }\to P^{\prime }\stackrel{{\phi }^{\prime }}{\to }M\to 0$

Якщо $P,P^{\prime }$ є проективними модулями то існує ізоморфізм $P^{\prime }\oplus K\cong P\oplus K^{\prime }$, між прямими сумами модулів.

Доведення

У попередніх позначеннях введемо підмодуль:

$X=\{(p,q)\in P\oplus P^{\prime }:\phi (p)={\phi }^{\prime }(q)\}.$

Відображення π : X → P, де π є проєкцією першої координати X на P, є сюр'єктивним. Оскільки φ' є сюр'єктивним, для будь-якого $p\in P$ існує $q\in P^{\prime }$для якого φ(p) = φ '(q). Таким чином одержується елемент $(p,q)\in X$ для якого π (p,q) = p. Для ядра відображення π маємо:

$\begin{array}{cc}\ker \pi & =\{(0,q):(0,q)\in X\}\\ & =\{(0,q):{\varphi }^{\prime }(q)=0\}\\ & \cong \ker {\varphi }^{\prime }\cong K^{\prime }.\end{array}$

Тому існує коротка точна послідовність

$0\to K^{\prime }\to X\to P\to 0.$

Оскільки P є проективним модулем, ця послідовність розщеплюється, тобто X ≅ K' ⊕ P . Також можна розглянути інше відображення π : X → P'. Як і вище звідси одержується коротка точна послідовність:

$0\to K\to X\to P^{\prime }\to 0,$

і тому X ≅ P' ⊕ K. Разом із цих двох результатів випливає твердження теореми.

Див. також

• Проективний модуль

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation