Лема Лебега

Лема Лебега у теорії метричних просторів стверджує, що для будь-якого відкритого покриття $𝒰$ компактного метричного простору $X$ існує число $\delta >0$ таке, що будь-яка підмножина діаметра $\delta$ в $X$ міститься хоча б в одному елементі покриття $𝒰$.

Таке число $\lambda$ називається числом Лебега покриття $P$.

Для некомпактних метричних просторів це твердження не є вірним, можливо навіть побудувати двоелементне покриття дійсної прямої, для якого немає жодного числа Лебега.

Доведення

Нехай $𝒰$ — відкрите покриття простору $X$. Оскільки $X$ є компактним простором можна вважати покриття скінченним з елементами $\{A_1,\dots ,A_n\}\subseteq 𝒰$. Якщо якась із множин $A_i$ є рівною $X$ то будь-яке число $\delta >0$ буде числом Лебега. В іншому випадку для кожного $i\in \{1,\dots ,n\}$, позначимо $C_i:=X\setminus A_i$ і ці множини будуть непорожніми. Введемо функцію $f:X\to ℝ$ визначену як $f(x):=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_i)$.

Функція $f$ є неперервною на компактній множині і тому набуває свого мінімального значення $\lambda$. Образ $f(X)$ як образ компактної множини при неперервному відображенні, теж є компактною, а тому і замкнутою множиною. Оскільки $0\in ̸f(X)$ то $\lambda >0$. Нехай число $0<\delta <\lambda$.

Якщо $Y$ є підмножиною $X$ діаметру $\delta$, то існує $x_0\in X$, така що $Y\subseteq B_{\delta }(x_0)$, де $B_{\delta }(x_0)$ позначає кулю радіуса $\delta$ з центром у точці $x_0$ (за $x_0$ можна обрати будь-яку точку множини $Y$). Оскільки $f(x_0)\ge \lambda >\delta$ то хоча б для одного $i$ виконується нерівність $d(x_0,C_i)>\delta$. Але це означає, що $B_{\delta }(x_0)\subset A_i$ і тому $Y\subseteq A_i$.

Див. також

• Метричний простір

Література

• Шаблон:Citation