Косоермітова матриця

Квадратна матриця $A$ з комплексними елементами називається косоермітовою чи анти-ермітовою (на честь Шарля Ерміта) , якщо вона протилежна до своєї ермітово-спряженої матриці, тобто

A^{*} = - A

Тобто, $a_{i j} = - \overline{a_{j i}}$ для всіх елементів матриці $A .$

Приклад

(\begin{matrix} i & 2 + i \\ - 2 + i & 3 i \end{matrix})

Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та косоермітової матриць:

A = H_{1} + i H_{2}, H_{1} = \frac{A + A^{*}}{2}, H_{2} = \frac{A - A^{*}}{2 i},

де:

H_{1}^{*} = H_{1}, H_{2}^{*} = H_{2}

— ермітові матриці,

{(i H_{2})}^{*} = - (i H_{2})

— антиермітова матриця.

Також справедливо, що матриця $A$ є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці $H_{1}, H_{2}$ переставні:

A^{*} A = A A^{*} ⟺ H_{1} H_{2} = H_{2} H_{1} .

Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.