Координатний вектор

Координа́тний ве́ктор у лінійній алгебрі — це представлення вектора як упорядкованого списку чисел, що описує вектор з точки зору конкретного впорядкованого базису. Координати завжди задаються відносно впорядкованого базису. Базиси та пов'язані з ними координатні представлення дозволяють задати векторні простори та лінійні перетворення за допомогою вектор-стовпчиків, вектор-рядків та матриць, тому вони корисні для обчислень.

Ідея координатного вектору також може бути використана для нескінченновимірних векторних просторів, як описано нижче.

Визначення

Нехай V — векторний простір розмірності n над полем F і нехай

$B=\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}$

буде впорядкованим базисом для V. Тоді для кожного $v\in V$ існує єдина лінійна комбінація базових векторів, яка дорівнює v:

$v={\alpha }_1{b}_1+{\alpha }_2{b}_2+\cdots +{\alpha }_n{b}_n.$

Координатний вектор v відносно B — це послідовність координат

$[v{]}_B=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n).$

Яка також називається поданням або представленням v відносно базису B. Значення ${\alpha }_s$ називаються координатами v. Порядок базису важливий, оскільки визначає порядок, в якому коефіцієнти будуть перераховані в координатному векторі.

Координатні вектори скінченно-вимірних векторних просторів можуть бути представлені матрицями у вигляді векторів-стовпців або рядків. У наведеній нотації можна писати

$[v{]}_B=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right]$

або

$[v{]}_B=\left[\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& \dots & {\alpha }_n\end{array}\right].$

Стандартне представлення

Ми можемо позначити вище наведене перетворення шляхом визначення функції ${\varphi }_B$, яка називається стандартним представленням V відносно базису B, вона переводить кожен вектор у його координатне представлення: ${\varphi }_B(v)=[v{]}_B$. Тоді ${\varphi }_B$ є лінійним перетворенням з V до F ⁿ. Фактично, це ізоморфізм, і тому зворотне перетворення ${\varphi }_B^{-1}:F^n\to V$ є просто

${\varphi }_B^{-1}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)={\alpha }_1{b}_1+\cdots +{\alpha }_n{b}_n.$

Як варіант, ми могли б спочатку визначити ${\varphi }_B^{-1}$, оскільки, ${\varphi }_B^{-1}$ є ізоморфізмом, а потім визначити ${\varphi }_B$, як зворотне перетворення.

Приклади

Приклад 1

Нехай $P_3$ — простір усіх алгебраїчних поліномів ступеня не більше 3 (тобто найвищий показник степеня x може бути 3). Цей простір є лінійним, його базисом будуть такі многочлени:

$B_P=\{1,x,x^2,x^3\}.$

Відповідно

$1:=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right];x:=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right];x^2:=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right];x^3:=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

тоді координатним вектором, що відповідає многочлену

$p\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3$

буде

$\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right].$

Згідно з цим представленням, диференціальний оператор d/dx, який ми позначимо як D, буде представлений наступною матрицею:

$Dp(x)=P^{\prime }(x);[D]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Використовуючи цей метод, легко вивчити властивості оператора: такі як оберненість, ермітовість або антиермітовість, тощо, спектр і власні значення, тощо.

Приклад 2

Матриці Паулі, які представляють оператор спіну при перетворенні власних станів спіну у векторні координати.

Матриця перетворення базисів

Нехай B і C — дві різні базиси векторного простору V, позначимо їх як матрицю $[M{]}_C^B$, яка має стовпці, що складаються з представлення у базисі C базових векторів b₁, b₂ ,…, b_n:

$[M{]}_C^B=\left[\begin{array}{ccc}[b_1{]}_C& \cdots & [b_n{]}_C\end{array}\right]$

Ця матриця називається матрицею перетворення базису B до базису C. Що можна розглядати як автоморфізм над V. Будь-який вектор v, представлений у базисі B, може бути перетворений на представлення у базисі C наступним чином:

$[v{]}_C=[M{]}_C^B[v{]}_B.$

Якщо E є стандартним базисом, то позначення можна спростити, просто опустивши символ E, при цьому перетворення від базису B до E буде таким:

$v=[M{]}^B[v{]}_B.$

Де

$\begin{array}{cc}v& =[v{]}_E,\\ [M{]}^B& =[M{]}_E^B.\end{array}$

Щодо перетворення базису зауважте, що верхній індекс матриці перетворення M та ніжній індекс координатного вектора v, є однаковими, і, хоча може виникнути бажання щось спростити, але робити цього не варто. Також це може служити допоміжним засобом для запам'ятовування, важливо зазначити, що ніякого скасування не відбувається.

Наслідок

Нехай матриця M є оберненою матрицею, а M ⁻¹ є базовою матрицею перетворення від C до B. Іншими словами,

$\begin{array}{cc}& \mathrm{Id}\\ =& [M{]}_C^B[M{]}_B^C=[M{]}_C^C\\ =& [M{]}_B^C[M{]}_C^B=[M{]}_B^B\end{array}$

Нескінченновимірні векторні простори

Припустимо, V — нескінченновимірний векторний простір над полем F. Якщо його розмірність дорівнює k, то існує деякий базис з k елементів для V. Після вибору порядку базис можна вважати впорядкованим. Елементи V — це скінченні лінійні комбінації елементів базису, які породжують єдине координатне представлення саме так, як описано вище. Єдина відмінність полягає в тому, що множина індексів для координат не є скінченною. Оскільки даний вектор v є скінченною лінійною комбінацією базових елементів, єдиними ненульовими записами вектора координат для v будуть ненульові коефіцієнти лінійної комбінації, що представляє v. Таким чином, координати вектору v будуть нулями, за винятком скінченної множини координат.

Лінійні перетворення між (можливо) нескінченновимірними векторними просторами можна моделювати аналогічно скінченновимірному випадку з нескінченними матрицями. Окремий випадок перетворень з V у V описаний у Шаблон:Нп.

Див. також

• Зміна базису