Коефіцієнти Клебша — Ґордана

Коефіцієнти Клебша — Ґордана — набір чисел, що виникають у квантовій механіці при описі взаємодії кутових моментів, і позначаються $(j_{1} j_{2} m_{1} m_{2} | j m)$ або $C_{j_{1} m_{1} j_{2} m_{2}}^{j m}$ . З математичної точки зору, коефіцієнти Клебша — Ґордана виникають у теорії представлень (зокрема компактних груп Лі) при розкладі тензорного добутку двох незвідних представлень у пряму суму незвідних представлень, якщо відомі їх кількість та форма. Коефіцієнти названі на честь німецьких математиків Альфреда Клебша (1833–1872) та Пауля Ґордана (1837–1912), які розв'язали аналогічну задачу в теорії інваріантів.

Означення

Вектори стану багатьох квантових систем можна вибрати таким чином, щоб вони були власними функціями квадрата оператора кутового момента і його проєкції на певну вісь. Такі вектори стану характеризуються двома квантовими числами j та m, відповідні власні значення:

\hat{J^{2}} | j m ⟩ = ℏ^{2} j (j + 1) | j m ⟩

{\hat{J}}_{z} | j m ⟩ = ℏ m | j m ⟩

,

де $ℏ$ — зведена стала Планка.

Систему, що складається із двох незалежних підсистем, кожна з яких має власний кутовий момент, можна характеризувати чотирма квантовими числами: $j_{1}$ , $m_{1}$ та $j_{2}$ , $m_{2}$ . Вектор стану такої системи можна записати як $| j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩$ .

Однак, такий вибір власних векторів стану не єдиний. Квадрат оператора суми операторів кутових моментів

{\hat{𝐉}}^{2} = ({\hat{𝐉}}_{1} + {\hat{𝐉}}_{2})^{2}

.

комутує з операторами ${\hat{𝐉}}_{1}^{2}$ та ${\hat{𝐉}}_{2}^{2}$ . Те ж саме стосується проєкції оператора сумарного моменту:

{\hat{𝐉}}_{z} = {\hat{𝐉}}_{1 z} + {\hat{𝐉}}_{2 z}

.

Тому сумарну систему можна характеризувати чотирма квантовими числами: $j_{1}$ , $j_{2}$ , $j$ , $m$ , де числа без індексів відносяться сумарної системи. Відповідний вектор стану позначається $| j_{1} j_{2} j m ⟩$ . Нові, сумарні, вектори стану можна подати, як лінійну комбінацію старих, індивідуальних, векторів стану $| j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩$ . Коефіцієнти цієї лінійної комбінації називаються коефіцієнтами Клебша — Ґордана:

| j_{1} j_{2} j m ⟩ = \sum_{m_{1}, m_{2}} (j_{1} j_{2} m_{1} m_{2} | j m) | j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩

.

Властивості

Коефіцієнти Клебша — Ґордана відмінні від нуля тільки тоді, коли

m = m_{1} + m_{2}

.

Крім того, квантове число сумарного орбітального моменту задовольняє умові трикутника:

| j_{2} - j_{1} | \leq j \leq | j_{1} + j_{2} |

.

Справедливі умови ортогональності та нормування:

\sum_{j m} (j_{1} j_{2} m_{1} m_{2} | j m) (j_{1} j_{2} m_{1}^{'} m_{2}^{'} | j m) = δ_{m_{1}, m_{1}^{'}} δ_{m_{2}, m_{2}^{'}}

\sum_{m_{1}, m_{2}} (j_{1} j_{2} m_{1} m_{2} | j m) (j_{1} j_{2} m_{1} m_{2} | j^{'} m^{'}) = δ_{j, j^{'}} δ_{m, m^{'}}

,

де $δ_{i j}$ — символ Кронекера.

Див. також

Джерела

Коефіцієнти Клебша — Ґордана

Зміст

Означення

Властивості

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Коефіцієнти Клебша — Ґордана

Означення

Властивості

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук