3j-символи

У квантовій механіці 3-jm-символи Вігнера, або як їх ще називають 3j-символи, що співвідносяться з коефіцієнтами Клебша — Ґордана так:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) \equiv \frac{(- 1)^{j_{1} - j_{2} - m_{3}}}{\sqrt{2 j_{3} + 1}} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} - m_{3} ⟩ .

Зворотне відношення

Зворотне відношення можна знайти приймаючи до уваги, що j₁ - j₂ - m₃ є цілим числом й роблячи заміну $m_{3} \to - m_{3}$

⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} m_{3} ⟩ = (- 1)^{j_{1} - j_{2} + m_{3}} \sqrt{2 j_{3} + 1} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) .

Властивості симетрії

Завдяки їх властивостям симетрії користуватися 3j-символами значно зручніше, ніж коефіцієнтами Клебша — Ґордана. 3j-символ є інваріантним (не змінює свого значення) щодо парної кількості перестановок його стовпчиків:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{2} & j_{3} & j_{1} \\ m_{2} & m_{3} & m_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{3} & j_{1} & j_{2} \\ m_{3} & m_{1} & m_{2} \end{matrix}) .

В той час як непарна кількість перестановок його стовпчиків додає фазовий множник, який в залежності від суми j₁+j₂+j₃ може приймати значення 1 чи -1

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ m_{2} & m_{1} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ m_{1} & m_{3} & m_{2} \end{matrix}) .

Зміна знаку на протилежний біля усіх квантових чисел $m$ додає такий же фазовий множник:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - m_{1} & - m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) .

Правила відбору

3j-символи Вігнера завжди рівні нулю за виключенням випадків, коли одночасно виконуються всі такі умови:

m_{1} + m_{2} + m_{3} = 0

j_{1} + j_{2} + j_{3}

є цілим числом

| m_{i} | \leq j_{i}

| j_{1} - j_{2} | \leq j_{3} \leq j_{1} + j_{2}

(«правило трикутника»).

Обчислення

Явний вираз для обчислення 3j-символу є досить громіздким й може бути записаний так:^[1]

\begin{matrix} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) & = δ (m_{1} + m_{2} + m_{3}, 0) (- 1)^{j_{1} - j_{2} - m_{3}} \sqrt{\frac{(j_{1} + j_{2} - j_{3})! (j_{1} - j_{2} + j_{3})! (- j_{1} + j_{2} + j_{3})!}{(j_{1} + j_{2} + j_{3} + 1)!}} \times \\ \times \sqrt{(j_{1} - m_{1})! (j_{1} + m_{1})! (j_{2} - m_{2})! (j_{2} + m_{2})! (j_{3} - m_{3})! (j_{3} + m_{3})!} \times \\ \times \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{k}}{k! (j_{1} + j_{2} - j_{3} - k)! (j_{1} - m_{1} - k)! (j_{2} + m_{2} - k)! (j_{3} - j_{2} + m_{1} + k)! (j_{3} - j_{1} - m_{2} + k)!}, \end{matrix}

де знак ! вказує на факторіал числа, а сумування проводиться по всім цілим k. Але оскільки факторіал від'ємного числа дорівнює $- \infty$ , то маємо скінченне число членів суми.

Формули для 3j-символів для простих випадків^[1]

Випадок

(\begin{matrix} j + \frac{1}{2} & j & \frac{1}{2} \\ m & - m - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}) = (- 1)^{j - m - \frac{1}{2}} {[\frac{j - m - \frac{1}{2}}{(2 j + 1) (2 j + 2)}]}^{\frac{1}{2}}

.

Випадок

(- 1)^{j - m} (\begin{matrix} j_{1} & j & 1 \\ m & - m - m_{3} & m_{3} \end{matrix})


$j_{1} =$	$m_{3} = 0$
$j$	$\frac{2 m}{[2 j (2 j + 1) (2 j + 2)]^{\frac{1}{2}}}$
$j + 1$	$- [\frac{2 (j + m + 1) (j - m + 1)}{(2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3)}]^{\frac{1}{2}}$
$j_{1} =$	$m_{3} = 1$
$j$	$[\frac{2 (j - m) (j + m + 1)}{[2 j (2 j + 1) (2 j + 2)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + 1$	$- [\frac{(j - m) (j - m + 1)}{(2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3)}]^{\frac{1}{2}}$

Випадок

(- 1)^{j - m + \frac{1}{2}} (\begin{matrix} j_{1} & j & \frac{3}{2} \\ m & - m - m_{3} & m_{3} \end{matrix})


$j_{1} =$	$m_{3} = \frac{1}{2}$
$j + \frac{1}{2}$	$- (j + 3 m + \frac{3}{2}) [\frac{j - m + \frac{1}{2}}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + \frac{3}{2}$	$- [\frac{3 (j - m + \frac{1}{2}) (j - m + \frac{3}{2}) (j + m + \frac{3}{2})}{(2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4)}]^{\frac{1}{2}}$
$j_{1} =$	$m_{3} = \frac{3}{2}$
$j + \frac{1}{2}$	$[\frac{3 (j - m - \frac{1}{2}) (j - m + \frac{1}{2}) (j + m + \frac{3}{2})}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + \frac{3}{2}$	$- [\frac{(j - m - \frac{1}{2}) (j - m + \frac{1}{2}) (j - m + \frac{3}{2})}{(2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4)}]^{\frac{1}{2}}$

Випадок

(- 1)^{j - m} (\begin{matrix} j_{1} & j & 2 \\ m & - m - m_{3} & m_{3} \end{matrix})


$j_{1} =$	$m_{3} = 0$
$j$	$\frac{2 [3 m^{2} - j (j + 1)]}{[(2 j - 1) 2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3)]^{\frac{1}{2}}}$
$j + 1$	$- 2 m [\frac{6 (j + m + 1) (j - m + 1)}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + 2$	$[\frac{6 (j + m + 2) (j + m + 1) (j - m + 2) (j - m + 1)}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4) (2 j + 5)}]^{\frac{1}{2}}$
$j_{1} =$	$m_{3} = 1$
$j$	$(1 + 2 m) [\frac{6 (j + m + 1) (j - m)}{(2 j - 1) 2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + 1$	$- 2 (j + 2 m + 2) [\frac{(j - m + 1) (j - m)}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + 2$	$2 [\frac{(j + m + 2) (j - m + 2) (j - m + 1) (j - m)}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4) (2 j + 5)}]^{\frac{1}{2}}$
$j_{1} =$	$m_{3} = 2$
$j$	$[\frac{6 (j - m - 1) (j - m) (j + m + 1) (j + m + 2)}{(2 j - 1) 2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + 1$	$- 2 [\frac{(j - m - 1) (j - m) (j - m + 1) (j + m + 2)}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + 2$	$[\frac{(j - m - 1) (j - m) (j - m + 1) (j - m + 2)}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4) (2 j + 5)}]^{\frac{1}{2}}$

Скалярний інваріант

Стискуюче відображення добутку трьох станів обертання з 3j-символом,

\sum_{m_{1} = - j_{1}}^{j_{1}} \sum_{m_{2} = - j_{2}}^{j_{2}} \sum_{m_{3} = - j_{3}}^{j_{3}} | j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ | j_{3} m_{3} ⟩ (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}),

є інваріантним щодо операцій обертання.

Відношення ортогональності

$(2 j + 1) \sum_{m_{1} m_{2}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j \\ m_{1} & m_{2} & m \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j^{'} \\ m_{1} & m_{2} & m^{'} \end{matrix}) = δ_{j j^{'}} δ_{m m^{'}};$

$\sum_{j m} (2 j + 1) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j \\ m_{1} & m_{2} & m \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j \\ {m_{1}}^{'} & {m_{2}}^{'} & m \end{matrix}) = δ_{m_{1} {m_{1}}^{'}} δ_{m_{2} {m_{2}}^{'}},$

де $δ_{j j^{'}}, δ_{m m^{'}}, δ_{m_{1} {m_{1}}^{'}}$ та $δ_{m_{2} {m_{2}}^{'}}$ є символами Кронекера.

Відношення до сферичних гармонік

Результат обчислення інтегралу від добутку трьох сферичних гармонік можна подати у вигляді 3j-символів таким чином

\int Y_{l_{1} m_{1}} (θ, φ) Y_{l_{2} m_{2}} (θ, φ) Y_{l_{3} m_{3}} (θ, φ) \sin θ d θ d φ = \sqrt{\frac{(2 l_{1} + 1) (2 l_{2} + 1) (2 l_{3} + 1)}{4 π}} (\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix})

де $l_{1}$ , $l_{2}$ та $l_{3}$ — цілі числа.

Відношення до інтегралів спін-зважених сферичних гармонік

$\int Y_{j_{1} m_{1}} (\hat{𝐧}_{s_{2}}) Y_{j_{2} m_{2}} (\hat{𝐧}_{s_{3}}) Y_{j_{3} m_{3}} (\hat{𝐧}) d \hat{𝐧}_{s_{1}} = \sqrt{\frac{(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1) (2 j_{3} + 1)}{4 π}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - s_{1} & - s_{2} & - s_{3} \end{matrix})$

Інші властивості

$\sum_{m} (- 1)^{j + m} (\begin{matrix} j & j & J \\ m & - m & 0 \end{matrix}) = \sqrt{\frac{2 j + 1}{2 J + 1}} δ_{J 0}$

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} P_{l_{1}} (x) P_{l_{2}} (x) P_{l} (x) d x = {(\begin{matrix} l & l_{1} & l_{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{2}$

Див.також

Джерела

Шаблон:Reflist

↑ ^1,0 ^1,1 Ландау Л.Д., Ліфшиц Є.М. «Квантова механіка. Нерелятивістська теорія», збірка «Теоретична фізика», том 3, Москва «Наука», 1989

L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
Шаблон:Dlmf
D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
E. P. Wigner, "On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups", unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal

Посилання

Калькулятор коефіцієнтів Вінера, створений Антоні Стоуном Шаблон:Webarchive (дає точну відповідь)
Вебкалькулятор для коефіцієнтів Клебша-Ґордана, 3j- та 6j-символів (чисельно)
Калькулятор для 369j-символів, розроблений у Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science Шаблон:Webarchive (чисельно)

[landau-1] 1,0 ^1,1 Ландау Л.Д., Ліфшиц Є.М. «Квантова механіка. Нерелятивістська теорія», збірка «Теоретична фізика», том 3, Москва «Наука», 1989

[1]

3j-символи

Зміст

Зворотне відношення

Властивості симетрії

Правила відбору

Обчислення

Формули для 3j-символів для простих випадків^[1]

Скалярний інваріант

Відношення ортогональності

Відношення до сферичних гармонік

Відношення до інтегралів спін-зважених сферичних гармонік

Інші властивості

Див.також

Джерела

Посилання

Навігаційне меню

3j-символи

Зворотне відношення

Властивості симетрії

Правила відбору

Обчислення

Формули для 3j-символів для простих випадків[1]

Скалярний інваріант

Відношення ортогональності

Відношення до сферичних гармонік

Відношення до інтегралів спін-зважених сферичних гармонік

Інші властивості

Див.також

Джерела

Посилання

Навігаційне меню

Пошук

Формули для 3j-символів для простих випадків^[1]