Коефіцієнт ексцесу

Графік щільності розподілу Пірсона VII типу; нескінченний ексцес (червона), 2 (синя), та 0 (чорна) криві.

Коефіцієнт ексцесу (Шаблон:Lang-en) — числова характеристика розподілу ймовірностей дійсної випадкової величини. Коефіцієнт ексцесу характеризує «крутість», тобто, стрімкість підвищення кривої розподілу у порівнянні з нормальною кривою.

Визначення

Ексцесом ${\gamma }_2$ (за Фішером) теоретичного розподілу називають характеристику, що обчислюється за такою формулою:

${\gamma }_2=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}-3$,

де ${\mu }_4$ — центральний момент четвертого порядку, ${\sigma }^2$ — дисперсія.

Оцінка ексцесу

Оцінка ексцесу (за Фішером) ${\gamma }_2$ дорівнює:

$g_2=\frac{k_4}{k_2^2},$

де $k$ є k-статистиками.

Дисперсія оцінки для нормального розподілу дорівнює:

$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(g_2)\approx \frac{24}{N}.$

Коефіцієнт ексцесу Пірсона

Коефіцієнт ексцесу Пірсона ${\beta }_2$ (Шаблон:Lang-en) дорівнює:

${\beta }_2\equiv \frac{{\mu }_4}{{\mu }_2^2}.$

Властивості

Для нормального розподілу $({\mu }_4/{\sigma }^4)=3$; із чого випливає, що ексцес нормального розподілу дорівнює нулю. Якщо ексцес деякого розподілу відмінний від нуля, то крива щільності цього розподілу відрізняється від кривої щільності нормального розподілу: якщо ексцес додатній, то крива теоретичного має вищу та «гострішу» вершину ніж крива нормального; якщо ексцес від'ємний, то крива теоретичного має нижчу та «плоскішу» вершину ніж крива нормального. При цьому вважається, що нормальний і теоретичний розподіли мають однакові математичні сподівання та дисперсії.

Див. також

• Коефіцієнт асиметрії

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко