Клас Линника I 0

Клас Линника $I_0$— одне з центральних понять в арифметиці ймовірнісних розподілів.

Дотримуючись Ю.В.Линника, клас розподілів, які не мають нерозкладних подільників, позначимо через $I_0$. Нехай $\mu \in I_0$. Тоді, згідно з другою теоремою Хінчина розподіл $\mu \in I_0$ безмежно подільний, а отже, за формулою Леві характеристична функція $\mu \in I_0$ може бути представлена у вигляді

$\hat{\mu }(s)=\exp \{is\beta -\sigma s^2+\underset{ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}}{\int }(e^{ixs}-1-\frac{ixs}{1+x^2})dF(x)\},$ (1)

де  $\beta \in ℝ$, $\sigma \ge 0$, $F$ — цілком $\sigma$-скінченна міра, яка задовольняє умові

$\underset{ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}}{\int }\frac{x^2}{1+x^2}dF(x)<\mathrm{\infty }.$

Міра $F$ називається спектральною мірою Леві безмежно подільного розподілу $\mu$.

Центральна проблема арифметики ймовірнісних розподілів полягає в знаходженні умов на $\sigma$ та $F$, які є необхідними або достатніми для того, щоб безмежно подільний розподіл $\mu$ належав класу $I_0$.

Позначимо через $𝔏$ клас безмежно подільних розподілів $\mu$, які мають ту властивість, що спектральна міра Леві $F$ в (1) дискретна та зосереджена на множині виду

$\{{\mu }_{k1}{\}}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cup \{{\mu }_{k2}{\}}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$,

де ${\mu }_{k1}>0$, ${\mu }_{k2}<0$, а числа ${\mu }_{k+1,r}/{\mu }_{k,r}$, $r=1,2$, $k=0,\pm 1,\pm 2,\dots$— натуральні, відмінні від 1.

Теорема Линника про клас $I_0$

Нехай $\mu$ — безмежно подільний розподіл та в формулі (1) $\sigma >0$. Якщо $\mu \in I_0$, то $\mu \in 𝔏$. [1]

Існують розподіли, що належать класу $𝔏$ і не належать $I_0$. Відповідний приклад побудований в роботі А.А. Гольдберга та Й.В. Островського [2]. З іншого боку, при додатковому припущенні про швидке спадання величини $\underset{|x|>y}{\int }dF(x)$ при $y\to \mathrm{\infty }$ приналежність класу $𝔏$ тягне приналежність класу $I_0$ [3, розділ V].

Наведемо два важливих результати про приналежність класу $I_0$ узагальненого розподілу Пуассона, тобто безмежно подільного розподілу $\mu$, у якого в (1) $\sigma =0$, а спектральна міра Леві $F$ майже скінченна.

Теорема 1 про приналежність класу $I_0$ узагальненого розподілу Пуассона.

Припустимо, що в (1) $\sigma =0$, спектральна міра Леві $F$ цілком скінченна та зосереджена на інтервалі $(a,b)$, де $0<a<b\le 2a$. Тоді $\mu \in I_0$. [4].

Теорема 2 про приналежність класу $I_0$ узагальненого розподілу Пуассона.

Припустимо, що в (1) $\sigma =0$, спектральна міра Леві $F$ цілком скінченна та зосереджена на множині з незалежними точками. Тоді $\mu \in I_0$. [5].

Властивості класу $I_0$ як підмножини в класі усіх безмежно подільних розподілів.

1. Клас $I_0$ щільний в слабкій топології в класі усіх безмежно подільних розподілів. [6].
2. Будь-який безмежно подільний розподіл можна представити у вигляді скінченної або нескінченної згортки розподілів, які належать класу $I_0$. [4].

Література

1. Линник Ю.В. Общие теоремы о разложении безгранично делимых законов. I, Теория вероятностей и ее применения, 3, вып. 1, (1958), 3-40.
2. А.А. Гольдберг, И.В. Островский. Применение теоремы У.К. Хеймана к одному вопросу теории разложений вероятностных законов. Украинский математический журнал, 19, № 3, (1967), 104-106.
3. Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972.
4. Островский  И.В. О разложениях безгранично делимых законов без гауссовой компоненты. ДАН СССР, 161, № 1, (1965), 48-51.
5. Cuppens, R. Ensembles indépendants et décomposition des fonctions caractéristiques. C. R. Acad. Sci. Paris S\'er. A-B 272, (1971) A1464–A1466.
6. Островский  И.В. О некоторых классах безгранично делимых законов. ИАН СССР, серия. матем. 34, № 4, (1970), 923-944.