Квантовий ефект Шотткі

Квантовий ефект Шоткі

Класичний ефект Шотткі може мати місце на поверхні розділу $Si-Si{O}_2$, де мобільний заряд в діелектриці ($Si{O}_2$) рівний:

$Q_{ss}^{*}=q{N}_{ss}^{*}$,

котрий враховує "металічну" частину (не має значення конкретний фізичний механізм її утворення) та дозволяє виконання механізму відображення для зарядів відносно $Si-Si{O}_2$ площини симетрії.

Електрон, котрий знаходиться у "вакуумі" (у цьому випадку це напівпровідник) на деякій відстані $x$ від поверхні "металу", індукує на його поверхні позитивний заряд. Сила притягання між електроном та цим індукованим поверхневим зарядом рівна по величині силі притягання до ефективного позитивного заряду $+q$, котрий називають зарядом зображення. Ця сила, котра також називається силою зображення, рівна:

$F=\frac{-q^2}{4\pi (2x{)}^2{ϵ}_0{ϵ}_s}=\frac{-q^2}{16\pi {ϵ}_0{ϵ}_s{x}^2},$

де ${ϵ}_0$- діелектрична проникність вакууму, ${ϵ}_s$- відносна проникність поверхні напівпровідника. Робота, яку необхідно зробити щоб перемістити електрон із нескінченності в точку $x$, рівна:

$A(x)=\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}Fdx=\frac{q^2}{16\pi {ϵ}_{0}x},$

Якщо до системи прикладено зовнішнє електричне поле $E$, то потенційна енергія електрону $W_P$ буде рівна сумі:

$W_P(x)=\frac{q^2}{16\pi {ϵ}_0{ϵ}_{s}x}+qEx$ еВ.

Зниження бар'єра Шотткі $\mathrm{\Delta }\varphi$ та віддалі $x_m$, на якій величина потенціалу досягає максимуму, визначається із умови $\frac{d[W_P(x)]}{dx}=0$. Звідки знаходимо:

$x_m=\sqrt{\frac{q}{16\pi {ϵ}_0{ϵ}_{s}E}}$ см,

$\mathrm{\Delta }\varphi =\sqrt{\frac{qE}{4\pi {ϵ}_0{ϵ}_s}}=2E{x}_m$ В.

В загальному випадку квантовий ефект Шоткі пов'язаний з проблемою атому Бора, дискретна енергія якого може бути записана у вигляді:

$W_{B0}=\frac{\hslash {}^2}{2m(n{a}_B{)}^2},n=1,2,...$

де $a_B$- Борівський радіус, та з проблемою Ейрі (трикутної потенційної ями), що має енергетичні рівні:

$U_{An}={\eta }_n(\frac{q\hslash E_n}{\sqrt{2m}}{)}^{2/3}$

де ${\eta }_n$- корені функції Ейрі. Оскільки атомна проблема належить до класу 3Д- проблем (тривимірних), а проблема Ейрі є типова одномірна (1Д-), то їх сумісний розв'язок важко отримати в аналітичній формі. Тому тут можна скористатися квазікласичним наближенням першого порядку щоб розв'язати проблему руху зарядів в 1Д- розмірності біля поверхні розділу $Si-Si{O}_2$. Як відомо, квантовий рух вільної частки може бути поданий у вигляді плоскої хвилі:

$\psi (x)\sim exp(ikx),$

де $k$ - хвильовий вектор, а кінетична енергія:

$W=\frac{(\hslash k{)}^2}{2m}$.

У випадку наявності центрів розсіювання хвильовий вектор задовольняє умові:

$k(2x)=1$, і тому одночастинна кінетична енергія може бути переписана у вигляді:

$W_{II}=\frac{\hslash {}^2}{8m{x}^2}.$

Розглянемо випадок наявності однієї частки для якої повну енергію можна записати у вигляді:

$W_{II\mathrm{\Sigma }}(X)=W_{II}+U_{II}=\frac{\hslash {}^2}{8m{x}^2}+qxE.$

Диференціюючи останнє рівняння по $x$, можна отримати екстремальне значення координати:

$x_{IIm}=(\frac{\hslash {}^2}{4mqE}{)}^{1/3}$

та для бар'єру Шоткі:

$\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{W_{II\mathrm{\Sigma }}(X)}{q}=\frac{3}{2q}(\frac{q\hslash E}{2\sqrt{m}}{)}^{2/3}$

Електричне поле $E$ в останньому рівнянні має тільки дискретні значення у квантовому випадку, котрі можна знайти наступним чином. Очевидно, що в задачі Бора використовується взаємодія двох часток. Тому для двох часток в нашому випадку кінетичну енергію необхідно зменшити в 2 рази. Тоді повна енергія може бути переписана у вигляді:

$W_{2I\mathrm{\Sigma }}(X)=W_{2I}+U_{2I}=\frac{\hslash {}^2}{16m{x}^2}+qxE.$.

Диференціюючи це рівняння отримаємо значення координати в точці екстремуму:

$x_{2Im}=0.5(\frac{\hslash {}^2}{mqE}{)}^{1/3}$, та кінетичної енергії:

$W_{21}(x_m)=2^{-5/3}(\frac{\hslash qE}{\sqrt{2m}}{)}^{2/3}$,

а також потенційної енергії:

$U_{21}(x_m)=2^{-2/3}(\frac{\hslash qE}{\sqrt{2m}}{)}^{2/3}$.

Використовуючи умови зшивання

$W_{21}(x_m)=W_{Bn}$, та $U_{21}(x_m)=U_{A0}$

можна отримати оцінку для електричного поля:

$E_{0n}=2^{3/2}{n}^{-3}{\eta }_0^{-3/2}{E}_B,$,

де $E_B=\frac{\hslash {}^2}{2mq{a}_B^3}=2,5711\cdot 10^{11}$ В/м, а ${\eta }_0=2,33811$- перший корінь функції Ейрі.

Див. також

• Ефект Шотткі
• Квантовий вихор

Література

• Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.37, No.10,1994.,pp.1739-1751