Канонічне перетворення

Канонічні перетворення — заміна узагальнених координат та узагальнених імпульсів класичної механічної системи на інші, при якій зберігається вигляд основних рівнянь гамільтонової механіки — рівнянь Гамільтона.

У гамільтоновій механіці стан механічної системи задається узагальненими координатами $q_i$ та імпульсами $p_i$, які вважаються незалежними змінними, та функцією Гамільтона $\mathscr{H}(q_i,p_i)$. Рівняння Гамільтона мають вигляд

${\dot{q}}_i=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i}$

${\dot{p}}_i=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_i}$

При переході до нових змінних $Q_i$ та $P_i$ форма запису рівнянь Гамільтона загалом не зберігається. Однак серед усіх таких переходів існує клас, який зберігає рівняння Гамільтона в незмінному вигляді при деякій новій функції Гамільтона ${\mathscr{H}}^{\prime }(Q_i,P_i)$. Такі перетворення називаються канонічними.

Твірна функція

Рівняння Гамільтона можна отримати з принципу найменшої дії, записаному у вигляді

$\delta \int (\sum _i{p}_{i}d{q}_i-\mathscr{H}dt)=0$

В нових змінних теж повинно виконуватися

$\delta \int (\sum _i{P}_{i}d{Q}_i-{\mathscr{H}}^{\prime }dt)=0$

Рівності нулю варіацій двох виразів можна добитися, якщо ці вирази відрізняються на повний диференціал довільної функції F. Звідси

$\sum _i{p}_{i}d{q}_i-\mathscr{H}dt=\sum _i{P}_{i}d{Q}_i-{\mathscr{H}}^{\prime }+dF$,

або

$dF=\sum _i{p}_{i}d{q}_i-\sum _i{P}_{i}d{Q}_i+({\mathscr{H}}^{\prime }-\mathscr{H})dt$.

Тому

$p_i=\frac{\partial F}{\partial q_i},P_i=-\frac{\partial F}{\partial Q_i},{\mathscr{H}}^{\prime }=\mathscr{H}-\frac{\partial F}{\partial t}$,

що є системою рівнянь, з яких можна визначити нові змінні через старі.

Функція F називається твірною функцією канонічного перетворення. Твірну функцію можна вибирати різним чином. У наведених вище виразах вона вибрана залежною від старих і нових координат та часу $F=F(q_i,Q_i,t)$. Вибравши твірну функцію можна визначити нові координати, імпульси та нову фунцію Гамільтона, розв'язуючи наведену систему рівнянь.

Твірна функція залежна від старих координат і нових імпульсів

Якщо твірна функція залежить від старих координат і нових імпульсів: $F_1=F_1(q_i,P_i)$ система рівнянь для знаходження зв'язку між новими та старими змінними має вигляд:

$Q_i=\frac{\partial F_1}{\partial P_i},p_i=\frac{\partial F_1}{\partial q_i},{\mathscr{H}}^{\prime }=\mathscr{H}-\frac{\partial F_1}{\partial t}.$

Твірна функція залежна від нових координат і старих імпульсів

Система рівнянь для знаходження зв'язку між новими й старими змінними при твірній функції $F_2=F_2(Q_i,p_i)$ записується у вигляді

$P_i=-\frac{\partial F_2}{\partial Q_i},q_i=-\frac{\partial F_2}{\partial p_i},{\mathscr{H}}^{\prime }=\mathscr{H}-\frac{\partial F_2}{\partial t}.$

Твірна функція залежна від старих і нових імпульсів

При твірній функції $F_3=F_3(p_i,P_i)$, система рівнянь для знаходження зв'язку між старими й новими змінними набуває вигляду

$q_i=-\frac{\partial F_3}{\partial p_i},Q_i=\frac{\partial F_3}{\partial P_i},{\mathscr{H}}^{\prime }=\mathscr{H}-\frac{\partial F_3}{\partial t}.$

Часткові канонічні перетворення

Одним із канонічних перетворень є перетворення, в якому $P_i=-q_i$ , а нові координати $Q_i=p_i$. В цьому випадку імпульси й координати наче міняються місцями, різниця між ними втрачається, тому при застосуванні гамільтонової механіки величини q і p часто називають просто канонічно спряженими змінними.

Сам рух можна розглядати, як канонічні перетворення. Якщо в певний момент часу t змінні мали значення $q_i(t)$ та $p_i(t)$, то в момент часу $t+\tau$ їхні значення $q_i(t+\tau )$ та $p_i(t+\tau )$ однозначно визначаються початковими умовами і задовольняють тим же рівнянням Гамільтона. Їх можна вибрати новими канонічно спряженими змінними.

Застосування

Канонічні перетворення застосовуються для спрощення задач класичної механіки або ж для побудови зручних способів знаходження наближених розв'язків.

Історія

Впреше канонічні перетворення застосував у 1846 році Шарль-Ежен Делоне, розглядаючи задачу про обертання Місяця навколо Землі одночасно з обертанням цих небесних тіл навколо Сонця.

Джерела

• Шаблон:Cite book, 516 с.

• Шаблон:Cite book, 206 с.

Шаблон:Physics-stub