Зірчата область

Зірчата область відносно точки $x_0$

Кільце не є зірчатою областю

Зірчата область, відносно фіксованої точки $x_0$ — область $D$ евклідового простору, ${ℝ}^n,$ така, що відрізок, що сполучає довільну точку області $D$ з точкою $x_0$, цілком належить цій області.

Формально, область $D\subseteq {ℝ}^n$ називається зірчатою щодо точки $x_0\in D$ якщо для всіх точок $x\in D$ відрізок

$[x_{0}x]=\{x_0+t(x-x_0):t\in [0,1]\}$

повністю належить $D$.

Приклади

• Довільна лінія або площина в ${ℝ}^n$ є зірчатою областю.
• Довільна опукла область є зірчатою.
• Область є опуклою тоді і тільки тоді, коли вона є зірчатою відносно кожної своєї точки.
• Якщо A є множиною в ${ℝ}^n$, то множина $B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}$ є зірчастою щодо початку координат.

Властивості

• Зірчаста область є стягуваною множиною, зокрема вона є однозв'язною.
• Непуста відкрита зірчата область $D\subseteq {ℝ}^n$ є дифеоморфною ${ℝ}^n.$
• Непуста множина $D\subseteq {ℝ}^n$ є зірчатою щодо точки $x_0$ тоді і тільки тоді коли її образ при перетворенні гомотетії з центром в точці $x_0$ і коефіцієнтом t є підмножиною $D$ для всіх $t\in [0,1]$.
• Підмножина $D$ дійсного векторного простору $E$ є зірчатою щодо точки $0$ тоді і тільки тоді коли існує функція $p:E\to [0,+\mathrm{\infty }]$ для якої $\mathrm{\forall }t\in [0,+\mathrm{\infty }[\mathrm{\forall }x\in Ep(tx)=tp(x)$, (приймається $0\times \mathrm{\infty }=0$) і також $\{x\in E\mid p(x)<1\}\subset D\subset \{x\in E\mid p(x)⩽1\}$. Для відкритої множини $D=\{x\in E\mid p(x)<1\},$ для замкнутої $D=\{x\in E\mid p(x)⩽1\},$ Ця функція є функціоналом Мінковського множини $D$ : $\mathrm{\forall }x\in Ep(x)=\inf \{\lambda >0\mid x\in \lambda D\}$. Зірчаста область щодо точки $0$ є обмеженою тоді і тільки тоді коли $p(x)>0,x\in D,x=0.$ Вона є опуклою якщо $p(x+y)⩽p(x)+p(y).$

Див. також

• Зіркоподібний многокутник
• Опукла множина

Література

• Касселс Дж., Введение в геометрию чисел, пер. с англ., М., 1965