Збіжність в Lp

Збіжність в $L^p$ в функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах — вид збіжності вимірних функцій або випадкових величин.

Визначення

Нехай $(X,ℱ,\mu )$ — простір з мірою. Тоді простір $L^p\equiv L^p(X,ℱ,\mu )$ вимірних функцій, таких что їх $p$-та степінь, де $p⩾1$, інтегровна за Лебегом, є метричним. Метрика в цьому просторі має вигляд:

$d(f,g)=\Vert f-g{\Vert }_p\equiv {(\underset{X}{\int }|f(x)-g(x){|}^p\mu (dx))}^{1/p}$.

Нехай дана послідовність $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset L^p$. Тоді кажуть, що ця послідовність збігається в $L^p$ до функції $f\in L^p$, якщо вона збігається в метриці, визначеній вище, тобто

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\Vert f_n-f{\Vert }_p=0$.

Пишуть: $f_n\stackrel{L^p}{⟶}f$.

У термінах теорії ймовірностей, послідовність випадкових величин $\{X_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset L^p(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ збігається до $X$ з того ж простору, якщо

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}𝔼|X_n-X{|}^p=0$.

Пишуть: $X_n\stackrel{L^p}{⟶}X$.

Термінологія

• Збіжність в просторі $L^1$ називається збіжністю в середньому.
• Збіжність в просторі $L^2$ називається збіжністю в середньоквадратичному.

Властивості збіжності в $L^p$

• Єдиність границі. Якщо $f_n\stackrel{L^p}{⟶}f$ и $f_n\stackrel{L^p}{⟶}g$, то $f=g$ $\mu$-майже всюди ($\mathbb{P}$-майже напевно).

• Простір $L^p$ повний. Якщо $\Vert f_n-f_m{\Vert }_p\to 0$ при $\min (n,m)\to \mathrm{\infty }$, то існує $f\in L^p$, такий що $f_n\stackrel{L^p}{⟶}f$.

• Із збіжності в $L^p$ випливає збіжність за мірою (за ймовірністю). Якщо $f_n\stackrel{L^p}{⟶}f$, то $f_n\stackrel{\mu }{⟶}f$.

Джерела

• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель