Задача Ґурси

Зада́ча Ґурси́ — різновид крайової задачі для гіперболічних рівнянь і систем 2-го порядку з двома незалежними змінними за даними на двох характеристичних кривих, які виходять з однієї точки.

Історична довідка

Задачу названо на честь математика Е. Ґурси. В його «Курсі математичного аналізу» їй присвячено окремий параграф.

Постановка задачі

Нехай на ділянці $\mathrm{\Omega }$ задано гіперболічне рівняння $u_{xy}=F(x,y,u,u_x,u_y)$ та крайову умову.

Задача: знайти регулярний на ділянці $\mathrm{\Omega }$ і неперервний на замиканні $\overline{\mathrm{\Omega }}$ розв'язок за крайовою умовою.

У «Математичній енциклопедії» крайову умову сформульовано так:

$u(0,t)=\phi (t),u(t,1)=\psi (t),\phi (1)=\psi (0)$, де $\phi$ і $\psi$ — задані неперервно диференційовні функції.

У підручнику Тихонова, Самарського її сформульовано дещо інакше:

$u(x,0)={\phi }_1(x),u(0,y)={\phi }_2(y)$, де ${\phi }_1$ і ${\phi }_2$ задовольняють умови спряження та диференційовності.

Легко бачити, що це задача з даними на характеристиках рівняння. Вона примітна тим, що для задання розв'язку достатньо двох функцій (порівн. з початково-крайовою задачею).

У «Курсі» Ґурси йдеться про загальніший випадок:

$u(x,\pi (x))=\phi (x),u(\chi (y),y)=\psi (y)$

Розв'язання

Існування розв'язку

Якщо функція $F$ неперервна для всіх $(x,y)\in \overline{\mathrm{\Omega }}$ і для будь-яких $u,p=u_x,q=u_y$ допускає похідні $F_u,F_p,F_q$, які за абсолютною величиною менші від деякого числа, то в ділянці $\overline{\mathrm{\Omega }}$ існує єдиний та стійкий розв'язок.

Метод Рімана

Розглядають лінійний випадок. Початкове рівняння набуває вигляду $Lu\equiv u_{xy}+a{u}_x+b{u}_y+cu=f$.

Вводять функцію Рімана $R(x,y;\xi ,\eta )$, яка однозначно визначається як розв'язок рівняння

$R_{xy}-(aR{)}_x-(bR{)}_y+cR=0$,

що задовольняє умови

$R(\xi ,y;\xi ,\eta )=\exp \underset{\eta }{\overset{y}{\int }}a(\xi ,t)dt$

$R(x,\eta ;\xi ,\eta )=\exp \underset{\xi }{\overset{x}{\int }}b(t,\eta )dt$

де $(\xi ,\eta )\in \mathrm{\Omega }$ — довільна точка.

Розв'язок задачі Ґурси в лінійному випадку в «Енциклопедії» наведено при $\phi =\psi \equiv 0$

$u(x,y)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}d\xi \underset{1}{\overset{y}{\int }}R(\xi ,\eta ;x,y)f(x,y)d\eta$

Метод послідовних наближень

Розглядають два випадки.

1. $F(x,y,u,u_x,u_y)=f(x,y)$

Послідовно інтегруючи початкове рівняння, отримують аналітичну формулу

$u(x,y)={\phi }_1(x)+{\phi }_2(y)-{\phi }_1(0)+\underset{0}{\overset{y}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\eta )d\xi d\eta$

З неї випливає існування та єдиність розв'язку цієї задачі.

2. $F(x,y,u,u_x,u_y)=a{u}_x+b{u}_y+cu+f$

Початкове рівняння перетворюють на інтегро-диференціальне рівняння

$u(x,y)=\underset{0}{\overset{y}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}[a{u}_{\xi }+b{u}_{\eta }+cu]d\xi d\eta +{\phi }_1(x)+{\phi }_2(y)-{\phi }_1(0)+\underset{0}{\overset{y}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\eta )d\xi d\eta$

Це рівняння розв'язують методом послідовних наближень. Нульове наближення $u_0(x,y)=0$ підставляють у інтегро-диференціальне рівняння. Результат приймають за перше наближення, яке в свою чергу підставляють у інтегро-диференціальне рівняння і т. д. Так виходить нескінченна послідовність $\{u_n(x,y)\}$. Далі доводять збіжність цієї послідовності і знаходять її границю $u(x,y)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n(x,y)$. Ця границя і є розв'язком задачі.