Задача про чотири куби

Задача про чотири куби полягає в знаходженні всіх цілочисельних розв'язків діофантового рівняння :

x^{3} + y^{3} + z^{3} = w^{3} .

Слід зазначити, що попри те, що запропоновано кілька повних розв'язків цього рівняння в раціональних числах, його повний розв'язок у цілих числах на 2018 рік невідомий^[1].

Історія

Ще Платон знав, що сума кубів сторін піфагорійського трикутника також є кубом $3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3}$ ^[2], про що він згадує в своїй «Державі»^[3].

Приклади цілочисельних розв'язків

Найменші натуральні розв'язки:

3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3}

1^{3} + 6^{3} + 8^{3} = 9^{3}

3^{3} + 1 0^{3} + 1 8^{3} = 1 9^{3}

7^{3} + 1 4^{3} + 1 7^{3} = 2 0^{3}

4^{3} + 1 7^{3} + 2 2^{3} = 2 5^{3}

1 8^{3} + 1 9^{3} + 2 1^{3} = 2 8^{3}

1 1^{3} + 1 5^{3} + 2 7^{3} = 2 9^{3}

2^{3} + 1 7^{3} + 4 0^{3} = 4 1^{3}

6^{3} + 3 2^{3} + 3 3^{3} = 4 1^{3}

1 6^{3} + 2 3^{3} + 4 1^{3} = 4 4^{3}

Якщо дозволити від'ємні значення, то мають місце рівності:

- 1^{3} + 9^{3} + 1 0^{3} = 1 2^{3}

- 2^{3} + 9^{3} + 1 5^{3} = 1 6^{3}

- 2^{3} + 1 5^{3} + 3 3^{3} = 3 4^{3}

- 2^{3} + 4 1^{3} + 8 6^{3} = 8 9^{3}

- 3^{3} + 2 2^{3} + 5 9^{3} = 6 0^{3}

Повні раціональні параметризації

Ґ. Гарді і Райт (1938)^[4]^[5]

$x = - a (b - 3 c) (b^{2} + 3 c^{2}) + a^{4}$

$y = a (b + 3 c) (b^{2} + 3 c^{2}) - a^{4}$

$z = a^{3} (b - 3 c) - (b^{2} + 3 c^{2})^{2}$

$w = a^{3} (b + 3 c) - (b^{2} + 3 c^{2})^{2}$

Н. Елкіс^[1]: ${\begin{matrix} x = d (- (s + r) t^{2} + (s^{2} + 2 r^{2}) t - s^{3} + r s^{2} - 2 r^{2} s - r^{3}), \\ y = d (t^{3} - (s + r) t^{2} + (s^{2} + 2 r^{2}) t + r s^{2} - 2 r^{2} s + r^{3}), \\ z = d (- t^{3} + (s + r) t^{2} - (s^{2} + 2 r^{2}) t + 2 r s^{2} - r^{2} s + 2 r^{3}), \\ w = d ((s - 2 r) t^{2} + (r^{2} - s^{2}) t + s^{3} - r s^{2} + 2 r^{2} s - 2 r^{3}) \end{matrix}$

Інші серії розв'язків

Леонард Ейлер (1740)

$x = 1 - (a - 3 b) (a^{2} + 3 b^{2})$

$y = - 1 + (a + 3 b) (a^{2} + 3 b^{2})$

$z = - a - 3 b + (a^{2} + 3 b^{2})^{2}$

$w = - a + 3 b + (a^{2} + 3 b^{2})^{2}$

Линник (1940)

$x = b (a^{6} - b^{6})$

$y = a (a^{6} - b^{6})$

$z = b (2 a^{6} + 3 a^{3} b^{3} + b^{6})$

$w = a (a^{6} + 3 a^{3} b^{3} + 2 b^{6})$

$x = a^{2} (b^{6} - 7) + 9 a c - 3 c^{2}$

$y = a^{2} [b^{3} (2 b^{3} + 9) + 7] - 3 a c (2 b^{3} + 3) + 3 c^{2}$

$z = a^{2} b [b^{3} (b^{3} + 3) + 2] - 3 a b c (b^{3} + 2) + 3 b c^{2}$

$w = a^{2} b [b^{3} (b^{3} + 6) + 11] - 3 a b c (b^{3} + 4) + 3 b c^{2}$

$x = 3 a^{2} (b^{6} - 7) - 9 a c - c^{2}$

$y = 3 a^{2} [b^{3} (2 b^{3} - 9) + 7] - 3 a c (2 b^{3} - 3) + c^{2}$

$z = 3 a^{2} b [b^{3} (b^{3} - 6) + 11] - 3 a b c (b^{3} - 4) + b c^{2}$

$w = 3 a^{2} b [b^{3} (b^{3} - 3) + 2] - 3 a b c (b^{3} - 2) + b c^{2}$

Roger Heath-Brown [1] Шаблон:Webarchive (1993)

$x = 9 a^{4}$

$y = 3 a - 9 a^{4}$

$z = 1 - 9 a^{3}$

$w = 1$

Шаблон:Нп (1956)

$x = 9 a^{3} b + b^{4}$

$y = 9 a^{4}$

$z = - b^{4}$

$w = 9 a^{4} + 3 a b^{3}$

$x = 9 a^{3} b - b^{4}$

$y = 9 a^{4} - 3 a b^{3}$

$z = b^{4}$

$w = 9 a^{4}$

$x = 9 a^{3} b + b^{4}$

$y = 9 a^{3} b - b^{4}$

$z = 9 a^{4} - 3 a b^{3}$

$w = 9 a^{4} + 3 a b^{3}$

Розв'язок, отриманий методом алгебричної геометрії

$x = 3 a (a^{2} + a b + b^{2}) - 9$

$y = {(a^{2} + a b + b^{2})}^{2} - 9 a$

$z = 3 (a^{2} + a b + b^{2}) (a + b) + 9$

$w = {(a^{2} + a b + b^{2})}^{2} + 9 (a + b)$

Рамануджан

$x = 3 a^{2} + 5 a b - 5 b^{2}$

$y = 4 a^{2} - 4 a b + 6 b^{2}$

$z = 5 a^{2} - 5 a b - 3 b^{2}$

$w = 6 a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}$

$x = a^{7} - 3 a^{4} (1 + b) + a (2 + 6 b + 3 b^{2})$

$y = 2 a^{6} - 3 a^{3} (1 + 2 b) + 1 + 3 b + 3 b^{2}$

$z = a^{6} - 1 - 3 b - 3 b^{2}$

$w = a^{7} - 3 a^{4} b + a (3 b^{2} - 1)$

$x = - a^{2} + 9 a b + b^{2}$

$y = a^{2} + 7 a b - 9 b^{2}$

$z = 2 a^{2} - 4 a b + 12 b^{2}$

$w = 2 a^{2} + 10 b^{2}$

Невідомий автор (1825)

$x = a^{9} - 3^{6}$

$y = - a^{9} + 3^{5} a^{3} + 3^{6}$

$z = 3^{3} a^{6} + 3^{5} a^{3}$

$w = 3^{2} a^{7} + 3^{4} a^{4} + 3^{6} a$

Шаблон:Нп (1955)

$x = 3888 a^{10} - 135 a^{4}$

$y = - 3888 a^{10} - 1296 a^{7} - 81 a^{4} + 3 a$

$z = 3888 a^{9} + 648 a^{6} - 9 a^{3} + 1$

$w = 1$

В. Б. Лабковський

$x = 4 b^{2} - 11 b - 21$

$y = 3 b^{2} + 11 b - 28$

$z = 5 b^{2} - 7 b + 42$

$w = 6 b^{2} - 7 b + 35$

Гарді і Райт

$x = a (a^{3} - 2 b^{3})$

$y = b (2 a^{3} - b^{3})$

$z = b (a^{3} + b^{3})$

$w = a (a^{3} + b^{3})$

$x = a (a^{3} - b^{3})$

$y = b (a^{3} - b^{3})$

$z = b (2 a^{3} + b^{3})$

$w = a (a^{3} + 2 b^{3})$

Г. Александров (1972)

$x = 7 a^{2} + 17 a b - 6 b^{2}$

$y = 42 a^{2} - 17 a b - b^{2}$

$z = 56 a^{2} - 35 a b + 9 b^{2}$

$w = 63 a^{2} - 35 a b + 8 b^{2}$

$x = 7 a^{2} + 17 a b - 17 b^{2}$

$y = 17 a^{2} - 17 a b - 7 b^{2}$

$z = 14 a^{2} - 20 a b + 20 b^{2}$

$w = 20 a^{2} - 20 a b + 14 b^{2}$

$x = 21 a^{2} + 23 a b - 19 b^{2}$

$y = 19 a^{2} - 23 a b - 21 b^{2}$

$z = 18 a^{2} + 4 a b + 28 b^{2}$

$w = 28 a^{2} + 4 a b + 18 b^{2}$

$x = 3 a^{2} + 41 a b - 37 b^{2}$

$y = 37 a^{2} - 41 a b - 3 b^{2}$

$z = 36 a^{2} - 68 a b + 46 b^{2}$

$w = 46 a^{2} - 68 a b + 36 b^{2}$

$x = - 4 a^{2} + 22 a b - 9 b^{2}$

$y = 36 a^{2} - 22 a b + b^{2}$

$z = 40 a^{2} - 40 a b + 12 b^{2}$

$w = 48 a^{2} - 40 a b + 10 b^{2}$

Ajai Choudhry (1998)^[6]

$d x_{1} = (a^{4} + 2 a^{3} b + 3 a^{2} b^{2} + 2 a b^{3} + b^{4}) + (2 a + b) c^{3},$

$d x_{2} = - {a^{4} + 2 a^{3} b + 3 a^{2} b^{2} + 2 a b^{3} + b^{4} - (a - b) c^{3}},$

$d x_{3} = c (- a^{3} + b^{3} + c^{3}),$

$d x_{4} = - {(2 a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}) c + c^{4}},$

де числа $a, b, c$ — довільні цілі, а число $d \neq 0$ вибрано так, щоб виконувалася умова $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = 1$ .

Коров'єв (2012)

$x = - (2 a^{2} - 2 a b - b^{2}) c d^{3} - (a^{2} - a b + b^{2})^{2} c^{4}$

$y = (2 a^{2} - 2 a b - b^{2}) c^{3} d + (a^{2} - a b + b^{2})^{2} d^{4}$

$z = (a^{2} + 2 a b - 2 b^{2}) c^{3} d - (a^{2} - a b + b^{2})^{2} d^{4}$

$w = (a^{2} + 2 a b - 2 b^{2}) c d^{3} - (a^{2} - a b + b^{2})^{2} c^{4}$

де $a$ , $b, c$ і $d$ — будь-які цілі числа.^[7]

Див. також

Примітки

Шаблон:Reflist

Література

Шаблон:Книга
Шаблон:Книга
Шаблон:Стаття
Решение Лабковского (Задание № 2) Шаблон:Webarchive
Шаблон:Книга
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation—3rd Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

↑ ^1,0 ^1,1 Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Цитата из раздела «1.3.7 Уравнение $x^{3} + y^{3} + z^{3} = t^{3}$ » из книги Харди и Райта
↑ Ajai Choudhry. On Equal Sums of Cubes Шаблон:Webarchive. Rocky Mountain J. Math. Volume 28, Number 4 (1998), 1251—1257.
↑ У багатьох випадках числа $x, y, z, w$ мають спільні дільники. Щоб отримати примітивну четвірку чисел, досить скоротити кожне з чисел на їхній найбільший спільний дільник.

[cohen1-1] 1,0 ^1,1 Шаблон:Книга

[2] Шаблон:Книга

[3] Шаблон:Книга

[4] Шаблон:Книга

[5] Цитата из раздела «1.3.7 Уравнение $x^{3} + y^{3} + z^{3} = t^{3}$ » из книги Харди и Райта

[6] Ajai Choudhry. On Equal Sums of Cubes Шаблон:Webarchive. Rocky Mountain J. Math. Volume 28, Number 4 (1998), 1251—1257.

[7] У багатьох випадках числа $x, y, z, w$ мають спільні дільники. Щоб отримати примітивну четвірку чисел, досить скоротити кожне з чисел на їхній найбільший спільний дільник.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Задача про чотири куби

Зміст

Історія

Приклади цілочисельних розв'язків

Повні раціональні параметризації

Інші серії розв'язків

Див. також

Примітки

Література

Навігаційне меню

Задача про чотири куби

Історія

Приклади цілочисельних розв'язків

Повні раціональні параметризації

Інші серії розв'язків

Див. також

Примітки

Література

Навігаційне меню

Пошук