Сума трьох кубів

Напівлогарифмічний графік розв'язків Шаблон:Nobr для цілих чисел x, y і z і n в інтервалі [0, 100]. Зелені смуги позначають доведену відсутність розв'язку

Сума трьох кубів — у математиці відкрита проблема про подаваність цілого числа у вигляді суми трьох кубів цілих (додатних або від'ємних) чисел.

Відповідне діофантове рівняння записується як $x^3+y^3+z^3=n.$ Необхідна умова для подаваності числа $n$ у вигляді суми трьох кубів: $n$ не можна порівняти з 4 або 5 за модулем 9.

У варіантах задачі число треба подати як суму кубів тільки невід'ємних або раціональних чисел. Будь-яке ціле число подається у вигляді суми раціональних кубів, але невідомо, чи утворюють суми невід'ємних кубів множину з ненульовою асимптотичною щільністю.

Історія

Питання про подання довільного цілого числа у вигляді суми трьох кубів існує вже близько 200 років, перший відомий параметричний розв'язок у раціональних числах дав С. Рілі в 1825 році. Параметричні розв'язки в цілих числах знаходять для $n=2$ — в 1908 році О. С. Веребрюсов (учитель математики Феодосійської чоловічої гімназії, син С. І. Веребрюсова), для $n=1$ — в 1936 році МалерШаблон:R.

Розв'язки

Необхідна умова для подаваності числа $n$ у вигляді суми трьох кубів: $n$ не порівнянне з 4 або 5 за модулем 9; оскільки куб будь-якого цілого числа за модулем 9 порівнянний з 0, 1 або -1, то сума трьох кубів не може дати 4 або 5 за модулем 9Шаблон:R. Невідомо, чи є ця умова достатньою.

У 1992 році Роджер Гіт-Браун припустив, що будь-яке $n$ не порівнянне з 4 або 5 за модулем 9 має нескінченно багато подань у вигляді сум трьох кубівШаблон:R.

Однак невідомо, чи розв'язується алгоритмічно подання чисел у вигляді суми трьох кубів, тобто, чи може алгоритм за скінченний час перевірити існування розв'язку для будь-якого заданого числа. Якщо гіпотеза Гіта-Брауна істинна, то задачу розв'язано, і алгоритм може правильно це зробити. Дослідження Гіта-Брауна також включає точніші припущення про те, як далеко алгоритму доведеться шукати, щоб знайти подання, а не просто визначити, чи існує воноШаблон:R.

Випадок $n=33$, подання якого у вигляді суми кубів довгий час не було відомим, використав Бьорн Пунен як вступний приклад в огляді нерозв'язних задач теорії чисел, з яких десята проблема Гільберта є найвідомішим прикладомШаблон:R.

Невеликі числа

Для $n=0$ існують тільки тривіальні рішення

$a^3+(-a{)}^3+0^3=0.$

Нетривіальне подання 0 у вигляді суми трьох кубів дало б контрприклад до доведеної Леонардом Ейлером останньої теореми Ферма для степеня 3Шаблон:R: оскільки один з трьох кубів матиме протилежний до двох інших чисел знак, то протилежне йому значення дорівнює сумі інших двох.

Для $n=1$ і $n=2$ існує нескінченне число сімейств розв'язків, наприклад (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):

$(9b^4{)}^3+(3b-9b^4{)}^3+(1-9b^3{)}^3=1,$

$(1+6c^3{)}^3+(1-6c^3{)}^3+(-6c^2{)}^3=2.$

Існують інші подання та інші параметризовані сімейства подань для 1Шаблон:R. Для 2 іншими відомими поданнями єШаблон:R

$1214928^3+3480205^3+(-3528875{)}^3=2,$

$37404275617^3+(-25282289375{)}^3+(-33071554596{)}^3=2,$

$3737830626090^3+1490220318001^3+(-3815176160999{)}^3=2.$

Ці рівності можна використовувати для розкладання будь-якого куба або подвоєного куба на суму трьох кубівШаблон:R.

Однак 1 і 2 є єдиними числами з поданнями, які можна параметризувати поліномами четвертого степеняШаблон:R. Навіть у випадку подання $n=3$ Луї Дж. Морделла написав 1953 року: «я нічого не знаю», крім невеликих розв'язків

$4^3+4^3+(-5{)}^3=3,$

$1^3+1^3+1^3=3,$

і ще того, що всі три куби повинні бути рівні 1 за модулем 9Шаблон:R. 17 вересня 2019 року Ендрю Букер і Ендрю Сазерленд, які знайшли подання для складних випадків 33 і 42 (див. нижче), опублікували ще одне подання 3, для знаходження якого було витрачено 4 млн годин в обчислювальній мережі Charity EngineШаблон:R:

$569936821221962380720^3+(-569936821113563493509{)}^3+(-472715493453327032{)}^3=3,$

Решта чисел

Від 1955 року, слідом за Морделлом, багато дослідників шукають розв'язки за допомогою комп'ютераШаблон:RШаблон:R.

1954 року Міллер і Вуллетт знаходять подання для 69 чисел від 1 до 100. У 1963 році Гардінер, Лазарус, Штайн досліджують інтервал від 1 до 999, вони знаходять подання для багатьох чисел, крім 70 чисел, з яких 8 значень менші від 100. 1992 року Гіт-Браун та інші знайшли розв'язок для 39. У 1994 році Кояма, використовуючи сучасні комп'ютери, знаходить розв'язок для ще 16 чисел від 100 до 1000. У 1994 році Конн і Вазерштайн — 84 960. У 1995 році Бремнер — 75 і 600, Люкс — 110, 435, 478. У 1997 році Кояма та інші — 5 нових чисел від 100 до 1000. У 1999 році Елкіс — 30 і ще 10 нових чисел від 100 до 1000. У 2007 році Бек та інші — 52, 195, 588Шаблон:R. У 2016 році Гейсман — 74, 606, 830, 966Шаблон:R.

Elsenhans і Jahnel у 2009 роціШаблон:R використали метод ЕлкісаШаблон:R, що застосовує редукування базису ґратки для пошуку всіх розв'язків діофантового рівняння $x^3+y^3+z^3=n$ для додатних $n$ не більших від 1000 і для $\max (|x|,|y|,|z|)<10^{14}$Шаблон:R, потім Гейсман у 2016 роціШаблон:R розширив пошук до $\max (|x|,|y|,|z|)<10^{15}$.

Навесні 2019 року Ендрю Букер (Бристольський університет) розробив іншу стратегію пошуку з часом розрахунків пропорційним $\min (|x|,|y|,|z|)$, а не їх максимуму, і знайшов подання 33 і 795Шаблон:R:

$33=8866128975287528^3+(-8778405442862239{)}^3+(-2736111468807040{)}^3,$

$795=(-14219049725358227{)}^3+14197965759741571^3+2337348783323923^3.$

У вересні 2019 року Букер і Ендрю Сазерленд закрили інтервал до 100, знайшовши подання 42, для чого було витрачено 1,3 мільйона годин розрахунку глобальної обчислювальної мережі Charity EngineШаблон:R:

Пізніше, в цьому ж місяці, вони знайшли розклад числа 906:

$906=(-74924259395610397{)}^3+72054089679353378^3+35961979615356503^3.$

А потім 165:

$165=(-385495523231271884{)}^3+383344975542639445^3+98422560467622814^3.$

На 2019 рік знайдено подання всіх чисел до 100, не рівних 4 або 5 за модулем 9. Залишаються невідомими подання для 8 чисел від 100 до 1000: 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921, 975Шаблон:R.

Найменший нерозв'язаний випадок — $n=114$Шаблон:R.

Варіанти

Існує варіант задачі, в якому число необхідно подати у вигляді суми трьох кубів невід'ємних цілих чисел, ця задача пов'язана з проблемою Воринга. У XIX столітті Карл Густав Якоб Якобі і його колеги склали таблиці розв'язків цієї задачіШаблон:R. Передбачається, але не доведено, що подавані числа мають додатну асимптотичну щільністьШаблон:R, хоча Тревор Вулі показав, що таким чином можливо подати $\mathrm{\Omega }(n^{0,917})$ чисел в інтервалі від $1$ до $n$Шаблон:R. Щільність не перевищує $\mathrm{\Gamma }(4/3{)}^3/6\approx 0,119$Шаблон:R.

Ще один варіант — з раціональними числами. Відомо, що будь-яке ціле число можна подати у вигляді суми трьох кубів раціональних чиселШаблон:R.

Див. також

• Задача про чотири куби
• Проблема Воринга

Посилання

• http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math04/matb0100.htm Шаблон:Webarchive, Hisanori Mishima
• threecubes Шаблон:Webarchive, Daniel J. Bernstein
• Sums of three cubes, Mathpages
• The Uncracked Problem with 33 Шаблон:Webarchive, Timothy Browning on Numberphile
• 42 is the new 33 Шаблон:Webarchive, Andrew Booker on Numberphile