Епіциклічна частота

Епіциклічна частота — це частота, з якою коливатися тіло, слабко зміщене відносно колової орбіти в симетричному гравітаційному потенціалі. При цьому рух досліджуються в системі відліку, пов'язаній з «ведучим центром» — уявною точкою на незбуреній коловій орбіті з тим самим періодом обертання. Назва походить від епіциклів, якими описувався руз планет в системі Птолемея, і на які буває схожим обертання тіла навколо ведучого центру.

Поняття епіциклічної частоти буває зручним для опису різних астрофізичних дисків: руху частинок в кільцях планет, руху газу в акреційному диску, зоряної динаміки в галактичному диску. Іноді це поняття також використовують для дослідження кеплерівських орбіт в небесній механіці або динаміці космічних кораблей.

Епіциклічна частота $\kappa$ виражається через період обертання $\mathrm{\Omega }$ і радіус R наступною формулою:

${\kappa }^2\equiv \frac{2\mathrm{\Omega }}{R}\frac{d}{dR}(R^2\mathrm{\Omega })$

Для кеплерівської орбіти $\kappa =\mathrm{\Omega }$, епіциклічний і орбітальний рух синхронізовані, і орбіта замкнута.

Опис

В астрофізиці може розглядатися рух тіла у певному гравітаційному потенціалі, наприклад, рух у галактиці. Однак навіть якщо гравітаційний потенціал є симетричним щодо будь-якої виділеної осі, то рівняння, що описують рух тіла, можуть мати аналітичні розв'язки лише в окремих випадках — наприклад, в задачі двох тіл, коли вся маса, що створює поле тяжіння, знаходиться в одній точці. Ця обставина змушує розглядати рух у спрощеному вигляді. Якщо траєкторія руху зорі в галактиці близька до кола, можна розглянути колову орбіту в площині галактики, за якою рух відбувався б з тією ж частотою $\mathrm{\Omega }$, та досліджувати коливання зорі навколо точки на цій коловій орбіті. Частота таких коливань у площині диска називається епіциклічною частотою та позначається $\kappa$. Наприклад, для потенціалу точкової маси, в якому $\mathrm{\Omega }\propto R^{-3/2}$, і рух пробного тіла відбувається за законами Кеплера, $\kappa =\mathrm{\Omega }$. В інших випадках, які можуть виникнути на практиці, найчастіше $\mathrm{\Omega }\lesssim \kappa \lesssim 2\mathrm{\Omega }$Шаблон:Sfn.

Розгляд задачі у такому вигляді називається епіциклічним наближенням. Назва пов'язана з тим, що рух у площині галактики щодо колового руху відбувається за еліпсом і тим самим нагадує рух епіциклом.

Вивод

У загальному вигляді рівняння руху зорі у циліндричних координатах $R,\theta ,z$ у потенціалі $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(R,\theta ,z)$ виглядають наступним чином:

$\frac{d^{2}R}{d{t}^2}=R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial R},$

$\frac{d}{dt}\left(R^2\frac{d\theta }{dt}\right)=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta },$

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial z}.$

Для осесиметричного потенціалу $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(R,z)$ друге з цих рівнянь має 0 в правій частині і після інтегрування дає $R^2\frac{d\theta }{dt}=h$, де $h$ — стала, звана інтегралом площ. Рух орбітою, близькою до колової, можна представити як суму колового руху по орбіті навколо центру галактики у площині диска і малих відхилень. У циліндричних координатах $R,\theta ,z$ рух буде виражено формулами:

$R=R_0+\delta R,$

$\theta ={\theta }_0+\delta \theta ={\omega }_0(t-t_0)+\delta \theta ,$

$z=\delta z.$

Тут $R_0$ — Радіус відповідної колової орбіти, ${\theta }_0$ — азимутальний кут відносно центру галактики для рівномірного колового руху. Для заданої орбіти можна визначити $R_0$ так, щоб $h$ для колової орбіти з радіусом $R_0$ збігався з $h$ для заданої орбіти. Також за допомогою $h$ можна переписати перше рівняння руху.

$\frac{d^{2}R}{d{t}^2}=\frac{h^2}{R^3}+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial R},$

$R^2\frac{d\theta }{dt}=h,$

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial z}.$

Частота обертання галактики ${\omega }_0$ на радіусі $R_0$ визначається як ${\omega }_0=h/R_0^2$. Розглядаючи колові орбіти, з першого рівняння можна отримати такий вираз, в якому нижній індекс 0 означає взяття похідної в точці $R_0$:

$h^2=-R_0^3{\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial R}\right)}_0.$

Потенціал $\mathrm{\Phi }(R,z)$ можна розкласти в ряд за степенями $R-R_0$ і $z$ і залишити лише перші степені. Тоді вийде:

$\frac{d^{2}R}{d{t}^2}=[1-{\left(\frac{R}{R_0}\right)}^{-3}]{\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial R}\right)}_0+\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial R^2}\right)(R-R_0),$

$\frac{d\theta }{dt}={\omega }_0{\left(\frac{R}{R_0}\right)}^{-2},$

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}={\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}\right)}_{0}z.$

Повертаючись до значень малих відхилень від колового руху, можна переписати рівняння так:

$\frac{d^2\delta R}{d{t}^2}={(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial R^2}+\frac{3}{R}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial R})}_0\delta R,$

$\frac{d\delta \theta }{dt}=-2\frac{{\omega }_0}{R_0}\delta R,$

$\frac{d^2\delta z}{d{t}^2}={\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}\right)}_0\delta z.$

Значення в дужках зазвичай є від'ємними, і тоді перше і третє рівняння є рівняннями гармонічних коливань. Можна ввести такі позначення:

${(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial R^2}+\frac{3}{R}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial R})}_0=-{\kappa }^2,$

${\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}\right)}_0=-{\nu }^2.$

Тоді рішення рівнянь набудуть наступного вигляду:

$\delta R=a\sin \kappa (t-t_1),$

$\delta \theta =2\frac{{\omega }_0}{\kappa R_0}a\cos \kappa (t-t_1),$

$\delta z=b\sin \nu (t-t_2).$

У цих формулах $a,b,t_1,t_2$ — сталі інтегрування. Вид формул означає, що при відхиленні від колової орбіти тіло в галактичній площині рухається еліпсом навколо точки на коловій орбіті з частотою $\kappa$, а вздовж осі $z$ здійснює гармонічні коливання із частотою $\nu$. Величина $\kappa$ і називається епіциклічною частотою, а $\nu$ — вертикальною частотоюШаблон:Sfn, її квадрат називають динамічним параметром і часто позначають $C^2$. Частоти обертання навколо центру галактики, коливань у площині галактики й перпендикулярно до неї зазвичай не збігаються, так що орбіта в загальному випадку не замкнута.

Застосування

Епіциклічну частоту в околицях Сонця можна оцінити через сталі Оорта: ${\kappa }^2=4B(B-A)$. В цій області $\kappa$ дорівнює приблизно 32 км/с/кпк, і період епіциклічних коливань становить приблизно 80 % періоду обертання Галактики. Динамічний параметр $C^2$ залежить від дисперсії швидкостей ${\sigma }_z$ у напрямку, перпендикулярному до диску Галактики, та розподілу густини $\rho$:

$C^2=-{\sigma }_z^2\frac{{\partial }^2\ln \rho }{\partial z^2}.$

В околицях Сонця період вертикальних коливань становить 45 % періоду обертання Галактики. Густину речовини в диску Галактики поблизу Сонця можна виразити через динамічний параметр і сталі Оорта:

$4\pi G\rho =C^2-2(A^2-B^2).$

Оцінка густини, отримана таким чином, називається динамічною і становить для околиць Сонця 6 Шаблон:E г/см³.

Література

• Шаблон:Книга