Ейконал

Ейконал - фізична величина, яка описує зміну фази хвилі в просторі й часі.

В певному сенсі це величина аналогічна еквіпотенціальним поверхням електричного поля - світло розповсюджується перпендикулярно до поверхні зі сталим ейконалом так само, як електричне поле направлене перпендикулярно до еквіпотенціальної поверхні.

Математичне визначення

У випадку, коли світлові промені чи інші хвилі відбиваються й заломлюються різноманітними об'єктами, фронт хвилі може бути достатньо складним. Проте, якщо розміри перешкод набагато більші за довжину хвилі, в кожному окремому об'ємі простору можна наближено вважати хвилю плоскою й подати її у вигляді

$u=a{e}^{i\psi }$,

де амплітуда a незначно змінюється в просторі. Величина $\psi (𝐫,t)$ називається ейконалом. Для плоскої монохроматичної хвилі ейконал

$\psi =𝐤\cdot 𝐫-\omega t-\phi$.

У загальному випадку ейконал задовільняє рівнянню ейконала, яке називають основним рівнянням геометричної оптики

$\frac{\partial \psi }{\partial x_i}\frac{\partial \psi }{\partial x^i}=0$

де $x^i$ - 4-вектори.

У випадку монохроматичного світла, тобто світла із визначеною частотою ω, ейконал можна подати у вигляді

$\psi =-\omega t+{\psi }_0$.

В такому випадку основне рівняння оптики набирає вигляду:

$(\mathrm{\nabla }{\psi }_0{)}^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}$,

де c - швидкість світла у порожнечі.

При розповсюдженні світла в середовищі із залежним від координати показником заломлення $n(𝐫)$, рівняння ейконалу має вигляд:

В такому випадку основне рівняння оптики набирає вигляду:

$(\mathrm{\nabla }{\psi }_0{)}^2=n(𝐫)\frac{{\omega }^2}{c^2}$.

Ейконал часто нормують на величину ${\omega }^2/c^2$, і тоді

$(\mathrm{\nabla }{\psi }_0{)}^2=n(𝐫)$.

Хвильова поверхня, яка задає фронт хвилі, визначається сталістю ейконала:

${\psi }_0(x,y,z)=\text{const}$.

Напрям розповсюдження світла визначається градієнтом ейконала.

Крім оптики поняття ейконала використовується також у квантовій механіці, хвильові рівняння якої мають багато спільного з хвильовими рівняннями оптики, особливо у випадку малої довжини хвилі в порівнянні із розмірами об'єктів. У цьому випадку хвильова оптика зводиться до геометричної, а квантова механіка переходить до класичної механіки.

Загальна теорія відносності

В гравітаційному полі рівняння для визначення ейконала набирає вигляду

$g^{ij}\frac{\partial \psi }{\partial x^i}\frac{\partial \psi }{\partial x^j}=0$,

де $g^{ij}$ задає метрику простору-часу.

Література

• Шаблон:Книга