Ділення

$20÷5=4$

Ді́лення, заст. ділі́ння — у математиці одна з чотирьох базових арифметичних операцій (іншими є додавання, віднімання, множення). Ділення натуральних чисел — це процес розрахунку кількості, скільки разів одне число міститься в другому числі.Шаблон:Rp Наприклад, на малюнку праворуч 20 яблук розділено на чотири групи по п'ять яблук, це означає, що двадцять розділене на п'ять дорівнює чотири, або чотири є результатом ділення двадцяти на п'ять. Це позначається як Шаблон:Math, Шаблон:Math, або Шаблон:Math.

Ділення має два операнди:

• ділене — число (чи математичний об'єкт), який ділять;
• дільник — число (чи математичний об'єкт), на який ділять.

Результат ділення називають часткою.

Під час ділення потрібно знайти таку частку $x$, яка при множенні на дільник $b$ дала б ділене $a$.

$x=a/b⟺x\cdot b=a.$

Ділення чисел позначають:

• двокрапкою $6:3=2,$
• знаком $6÷3=2,$
• скісною рискою $6/3=2,$
• або дробом $\frac{6}{3}=2,$ в чисельнику якого записують ділене, а в знаменнику — дільник.

Шаблон:Sidebar Ділення — бінарна операція, обернена множенню; тобто якщо Шаблон:Math, тоді Шаблон:Math, за умови що Шаблон:Math не є нулем. Ділення на нуль для дійсних чисел і в більшості інших випадків є невизначеним,Шаблон:Rp оскільки, якщо Шаблон:Math, тоді Шаблон:Math не можна отримати із Шаблон:Math і Шаблон:Math, оскільки тоді Шаблон:Math завжди дорівнюватиме нулю незалежно від Шаблон:Math.

Розрахунок

Методи ділення вручну

Ділення зазвичай пояснюють як процедуру розділення множини об'єктів, наприклад яблук, на деяку задану кількість частин. Розділення об'єктів по одному, з повторенням процедури по колу, веде до методу «Шаблон:Нп», тобто ділення виконується за допомогою повторюваних кроків віднімання.

Систематизованіше й ефективніше, і водночас формалізованіше й на основі правил, людина, яка знає таблицю множення, може поділити два цілих числа за допомогою розрахунків на папері, використовуючи метод Шаблон:Нп, якщо дільник є простим числом. Для більших значень дільників застосовують процедуру ділення стовпчиком. Якщо частка має дробову частину (задану у вигляді десяткового дробу), алгоритм ділення можна продовжити і розрахувати необхідну кількість значень після коми. Якщо дільник має дробову частину для виконання розрахунку можна перемістити знак коми праворуч, щоб дільник став цілим числом, і виконати розрахунок як для цілих чисел.

Ділення можна розрахувати за допомогою рахівниці, перемістивши необхідне число декілька разів, а потім підрахувати кількість зсувів у підсумку.

Для ділення двох чисел можна застосувати логарифмічні таблиці, віднявши логарифми двох чисел, а потім знайшовши логарифм результату віднімання.

За допомогою комп'ютера

Сучасні комп'ютери розраховують операцію ділення за допомогою методів, що є швидшими від методу довгого ділення. Наприклад, Ділення із залишком, див. Шаблон:Нп.

У модульній арифметиці (модуль простого числа) і для дійсних чисел ненульові числа мають обернене за модулем число. В таких випадках ділення на число Шаблон:Mvar можна розрахувати як добуток на обернене число Шаблон:Mvar. Цей підхід зазвичай є найефективнішим.

Властивості

Ділення є дистрибутивною справа для операцій додавання і віднімання. Це означає:

$\frac{a+b}{c}=(a+b)÷c=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$

так само як і при множенні $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$. Але ділення не є дистрибутивним зліва, тобто

$\frac{a}{b+c}=a÷(b+c)={(\frac{b}{a}+\frac{c}{a})}^{-1}\ne \frac{a}{b}+\frac{a}{c}$

на відміну від множення.

Якщо виконується декілька операцій ділення, вони виконуються в порядку як вони записані в рядок зліва направо, це називається асоціативністю зліва:

$a÷b÷c=(a÷b)÷c=a÷(b\times c)=a\times b^{-1}\times c^{-1}$.

Обернений елемент

Ділення еквівалентне множенню на обернений елемент:

$a/b=a\cdot \frac{1}{b}$

Таке визначення ділення, зазвичай, застосовують для складних математичних об'єктів.

Ліве та праве ділення

Операція множення для складних математичних об'єктів не завжди є комутативною, тому, рівняння $ax=b$ та $xa=b$ можуть мати різні розв'язки.

У зв'язку з цим використовуються терміни правого та лівого ділення згідно з розв'язками зазначених рівнянь чи множення зліва / справа на обернений елемент:

$ax=b⟺x=a^{-1}\cdot b$

$xa=b⟺x=b\cdot a^{-1}$

Ділення раціональних чисел

Очевидно, що результат ділення цілого числа на ціле число не завжди буде цілим. Замкнутими відносно ділення є раціональні числа.

Для обчислення ділення раціональних чисел використовують множення на число обернене до дільника:

$\frac{p}{q}÷\frac{r}{s}=\frac{p}{q}\cdot \frac{s}{r}=\frac{ps}{qr}.$

Ділення дійсних чисел

Ділення двох дійсних чисел дає в результаті інше дійсне число, коли дільник не 0. Воно буде визначене наступним чином a/b = c тоді і лише тоді, коли a = cb і b ≠ 0.

Ділення на нуль

Шаблон:Main Шаблон:External media Ділення будь-якого числа на нуль (коли дільник дорівнює нулю) є невизначеним. Це тому, що множення будь-якого скінченного числа на нуль завжди в результаті дає нуль. Якщо ввести такий вираз у калькулятор, більшість з них напише повідомлення про помилку.

Ділення комплексних чисел

Для того, щоб поділити комплексне число $z_1=x_1+i{y}_1$ на комплексне число $z_2=x_2+i{y}_2$ потрібно записати частку у вигляді дробу, а потім домножити чисельник і знаменник на число спряжене до знаменника

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+i{y}_1}{x_2+i{y}_2}=\frac{z_1\cdot {\overline{z}}_2}{z_2\cdot {\overline{z}}_2}=\frac{(x_1+i{y}_1)(x_2-i{y}_2)}{(x_2+i{y}_2)(x_2-i{y}_2)}=\frac{(x_1{x}_2+y_1{y}_2)+i(x_2{y}_1-x_1{y}_2)}{x_2^2+y_2^2}$

Ділення матриць

Для обчислення ділення матриць використовують домножання на матрицю обернену до дільника. А оскільки множення матриць не є комутативним, то можливе праве та ліве ділення. Якщо дільник є виродженою матрицею (тобто, для неї не існує оберненої), то можливе використання псевдооберненої матриці.

Див. також

• Ділення стовпчиком
• Ділення з остачею
• Ділення многочленів

Джерела

• Шаблон:Погребиський.Арифметика
• Шаблон:Дрозд.Теорія алгебричних чисел