Дійсна точка

У геометрії дійсна точка — точка на комплексній проєктивній площині з однорідними координатами Шаблон:Math для якої існує ненульове комплексне число Шаблон:Math таке, що Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math — дійсні числа.

Це визначення можна розширити до Шаблон:Нп довільної скінченної розмірності:

$(u_1,u_2,\dots ,u_n)$

є однорідними координатами дійсної точки, якщо існує ненульове комплексне число Шаблон:Math таке, що координати

$(\lambda u_1,\lambda u_2,\dots ,\lambda u_n)$

всі дійсні.

Точку, яка не є дійсною, називають уявною.

Контекст

Геометрії, які є спеціалізаціями дійсної проєктивної геометрії, такої як евклідова, еліптична або конформна геометрія, можна комплексифікувати, вклавши точки геометрії в комплексний проєктивний простір, але зберігаючи ідентичність початкового дійсного простору. Прямі, площини тощо розширюються до прямих тощо комплексного проєктивного простору. Як і у випадку зі включенням точок на нескінченності та комплексифікацією дійсних многочленів, це дозволяє спростити деякі теореми, уникнувши винятків, і застосовувати їх для звичного алгебричного аналізу геометрії.

Якщо розглядати в термінах однорідних координат, дійсний векторний простір однорідних координат початкової геометрії є комплексифікованим. Точка початкового геометричного простору визначається класом еквівалентності однорідних векторів вигляду Шаблон:Math, де Шаблон:Math — ненульове комплексне значення, а Шаблон:Math — дійсний вектор. Точку такого вигляду (і, отже, належну до початкового дійсного простору) називають дійсною точкою, тоді як точку, яка додана через комплексифікацію і тому не має такого вигляду, називють уявною точкою.

Дійсний підпростір

Підпростір проєктивного простору є дійсним, якщо на нього натягнуто дійсні точки. Кожна уявна точка належить рівно одній дійсній прямій, прямій, що проходить через точку та її комплексно спряжену.

Див. також

• Раціональна точка
• Уявна пряма (математика)