Дужки Лагранжа

Матеріал з testwiki
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Дужки Лагранжа — бінарна операція в гамільтоновій механіці, тісно пов'язана з іншою бінарною операцією, дужками Пуассона. Дужки Лагранжа були введені Лагранжем у 1808—1810 роках для математичних виразів у класичній механіці. На відміну від дужок Пуассона, зараз дужки Лагранжа практично не використовуються.

Означення

Нехай (Шаблон:Math) — набір канонічних координат у фазовому просторі. Якщо кожну з них виразити функцією двох змінних, Шаблон:Math і Шаблон:Math, то в цьому випадку дужки Лагранжа від Шаблон:Math та Шаблон:Math можна визначити за допомогою формули

[u,v]p,q=∑i=1n(∂qi∂u∂pi∂v−∂pi∂u∂qi∂v).

Ця формула відрізняється від означення дужок Пуассона перестановкою чисельників і знаменників в операторах частинних похідних.

Властивості

  • Як і дужки Пуассона, дужки Лагранжа є антикомутативними, що очевидно безпосередньо випливає з їхнього означення:
[u,v]q,p=−[v,u]q,p.
  • Дужки Лагранжа не залежать від набору канонічних координат Шаблон:Math: наприклад, якщо Шаблон:Math є іншим набором канонічних координат, причому {Q=Q(q,p),P=P(q,p)} — це канонічне перетворення, то дужки Лагранжа є інваріантом цього перетворення в тому сенсі, що
[u,v]q,p=[u,v]Q,P.
Внаслідок цього індекси, що позначають канонічні координати, часто опускаються.
[ui,uj]p,q,1≤i,j≤2n,
що розглядається в даному випадку як тензор, є компонентами Шаблон:Math в координатах Шаблон:Math. Ця матриця є оберненою до матриці, що утворена дужками Пуассона
{ui,uj},1≤i,j≤2n
в координатах Шаблон:Math.
  • Як наслідок попередніх властивостей, координати Шаблон:Math в фазовому просторі є канонічними тоді і тільки тоді, коли дужки Лагранжа між ними мають вигляд
[Qi,Qj]p,q=0,[Pi,Pj]p,q=0,[Qi,Pj]p,q=−[Pj,Qi]p,q=δij.

Література

Посилання

Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Дужки_Лагранжа&oldid=6435