Друга квадратична форма

Друга квадратична форма в диференціальній геометрії це квадратична форма на дотичній площині гладкої поверхні в тривимірному евклідовому просторі, зазвичай позначається $\mathrm{I}\mathrm{I}$. Разом з першою фундаментальною формою, вона використовується для визначення зовнішніх інваріантів поверхні та її головних кривин. Поняття другої квадратичної форми узагальнюється на гладкі гіперповерхні в рімановому многовиді.

Випадок поверхні в ${ℝ}^3$

Мотивація

Друга фундаментальна форма параметрично заданої поверхні $S$ в ${ℝ}^3$ була введена і вивчена Гаусом. Припустимо спочатку, що графіком поверхні є двічі безперервно диференційована функція $z=f(x,y)$, і, що площина $z=0$ буде дотичною площиною до поверхні в початку координат. Тоді $f$ і його часткова похідна $s$ по відношенню до $x$ і $y$ обернеться в нуль в $(0,0)$. Таким чином, ряд Тейлора функції $f$ в точці $(0,0)$ починається з квадратичних членів:

$z=L\frac{x^2}{2}+Mxy+N\frac{y^2}{2}+$ доданки вищого порядку

і друга фундаментальна форма на початку координат в координатах $x$, $y$ є квадратична форма

$L\text{d}{x}^2+2M\text{d}x\text{d}y+N\text{d}{y}^2.$

Для гладкої точки $P$ на $S$, можна вибрати систему координат таким чином, щоб площина $z=0$ проходила була дотичною до поверхні $S$ в точці $P$, тому можна визначити другу фундаментальну форму таким же чином.

Класичний запис

Друга фундаментальна форма загальної параметрично заданої поверхні визначається наступним чином. Нехай $𝐫=𝐫(u,v)$ буде регулярною параметризацією поверхні в ${ℝ}^3$, де $𝐫$ є гладкою вектор-функцією від двох змінних. Вона є спільною для часткових похідних $𝐫$ по $u$ і $v$, які позначаються як ${𝐫}_u$ і ${𝐫}_v$. Регулярність параметризації ${𝐫}_u$ і ${𝐫}_v$, означає, що вони лінійно незалежні для будь-якої точки $(u,v)$ в області $𝐫$, і, отже, породжують дотичну площину $S$ в кожній точці. Це рівнозначно тому, що векторний добуток ${𝐫}_u\times {𝐫}_v$ буде ненульовим вектором нормалі до поверхні. Таким чином, параметризація визначає поле одиничного вектора нормалі $𝐧$:

$𝐧=\frac{{𝐫}_u\times {𝐫}_v}{|{𝐫}_u\times {𝐫}_v|}.$

Друга квадратична форма $n$-мірної поверхні

Друга квадратична форма $n$-мірної поверхні, вкладеної в простір ${ℝ}^{n+1}$, — квадратична форма, що задає нормальну кривину. Нехай $𝐧$ — нормальний вектор в точці $P$, а $𝐫:{ℝ}^n\to {ℝ}^{n+1}$ — локальна карта поверхні в точці $P$.Тоді друга квадратична форма обчислюється за формулою $q_{ij}=(𝐧,\frac{{\partial }^2𝐫}{\partial x^i\partial x^j})$.

Нормальна кривина $k_n$ за напрямом $𝐮$ обчислюється за формулою $\frac{q(𝐮,𝐮)}{g(𝐮,𝐮)}$, де $g$ — перша квадратична форма.

Теорема. Всі лінії на поверхні, що проходять через точку $M$ поверхні зі спільною дотичною, мають одну і ту ж нормальну кривину. Відзначимо також, що в так званих Нормальних перетинах поверхні, що проходять через вектор нормалі, напрям цього вектора збігається з напрямком головної нормалі до лінії на поверхні, що лежить в цьому перетині, так що нормальна кривина збігається з кривиною цієї лінії. Зазвичай радіус кривини нормального перетину поверхні береться з протилежним знаком.