Диференційний біном

В математичному аналізі диференціальним біномом або біноміальним диференціалом називається диференціал виду

$I=x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx,$

де a, b — дійсні числа, a m, n, p — раціональні числа.

Властивості

Виразність у елементарних функціях

Диференційний біном виражається в елементарних функціях тільки в трьох випадках:

• $p$ — ціле число. Використовується підстановка $x=t^k$, $k$ — спільний знаменник дробів $m$ и $n$;
• $\frac{m+1}{n}$ — ціле число. Використовується підстановка $a+b{x}^n=t^s$;
• $p+\frac{m+1}{n}$ — ціле число. Використовується підстановка $a{x}^{-n}+b=t^s$, $s$ — знаменник дробу $p$.

Зв'язок з бета-функцією і гіпергеометричною функцією

Диференційний біном виражається через неповну бета-функцію:

$I=\frac{1}{n}{a}^{(m+1)/n+p}{b}^{-(m+1)/n}{B}_y(\frac{m+1}{n},p-1),$

де $y=\frac{b}{a}{x}^n$, а також через гіпергеометричну функцію:

$I=\frac{1}{1+m}{a}^{(m+1)/n+p}{b}^{-(m+1)/n}{y}^{(m+1)/n}{}_2{F}_1(\frac{m+1}{n},2-p;1+\frac{m+1}{n};y).$

Історія

Випадки виразності диференціального бінома в елементарних функціях були відомі ще Леонарду Ейлеру. Однак, невиразність диференціального бінома в елементарних функціях у всіх інших випадках була доведена П. Чебишевим в 1853 році.

Див. також

• Таблиця інтегралів

Посилання

• Дифференциальный биномШаблон:Недоступне посилання в БСЭ.
• Шаблон:PlanetMath
• Tables of indefinite integrals Шаблон:Webarchive.