Диференціальні форми в електромагнетизмі

Диференціальні форми в електромагнетизмі — одне з можливих математичних формулювань класичної електродинаміки за допомогою диференціальних форм в чотиривимірному просторі-часі.

Розглянемо 2-форму Фарадея, що відповідає тензору електромагнітного поля:

$\mathbf{\text{𝐅}}=\frac{1}{2}{F}_{ab}\mathrm{d}{x}^a\wedge \mathrm{d}{x}^b.$

Ця форма є формою кривини тривіального головного розшарування зі структурною групою U (1), за допомогою якого можуть бути описані класична електродинаміка та калібрувальна теорія. 3-форма струму, дуальна до 4-вектору струму, має вигляд

$\mathbf{\text{𝐉}}=J^a{\epsilon }_{abcd}\mathrm{d}{x}^b\wedge \mathrm{d}{x}^c\wedge \mathrm{d}{x}^d.$

У цих позначеннях рівняння Максвелла можуть бути дуже компактно записані як

$\mathrm{d}\mathbf{\text{𝐅}}=\mathbf{\text{𝟎}}$,

$\mathrm{d}\ast \mathbf{\text{𝐅}}=\mathbf{\text{𝐉}}$,

де $\ast$ — оператор зірки Годжа. Подібним чином може бути описана геометрія загальної калібрувальної теорії.

2-форма $\ast 𝐅$ також називається 2-формою Максвелла.

Джерела

• Болибрух А. А. Уравнения Максвелла и дифференциальные формы Шаблон:Webarchive, МЦНМО, 2002. Шаблон:Ref-ru