Дискретний рівномірний розподіл

Шаблон:Розподіл ймовірностей В теорії ймовірностей і статистиці випадкова величина має дискретний рівномірний розподіл, якщо вона приймає скінченне число значень з однаковими ймовірностями.

Якщо випадкова величина може приймати будь-яке з n значень k₁,k₂,…,k_n, тоді це є дискретним рівномірним розподілом. Ймовірність випадання k_j дорівнює 1/n. Простим прикладом дискретного рівномірного розподілу є випадання гральної кості. k набуває значень 1, 2, 3, 4, 5, 6 і кожен раз $k$ випадає з імовірністю 1/6. У випадку, коли випадкова величина є дійсним числом, то функцію розподілу можна виразити у термінах виродженого розподілу таким чином:

$F (k; a, b, n) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} H (k - k_{i})$

Визначення максимуму

Вибірка із k спостережень отримана із рівномірного розподілу цілих чисел $1, 2, \dots, N$ , для якої існує задача оцінити невідомий максимум N. Цю задачу іноді називають Шаблон:Нп, після того як цей метод оцінки максимуму було застосовано для оцінки темпів виробництва німецьких танків під час Другої світової війни.

Незміщена оцінка з мінімальною дисперсією для рівномірного розподілу, яка визначає максимум задається наступним чином

\hat{N} = \frac{k + 1}{k} m - 1 = m + \frac{m}{k} - 1

де m є вибірковим максимумом, а k - розмір вибірки, для вибірки без повторного заміщення.^[1] Цей приклад можна розглядати як спрощений випадок Шаблон:Нп.

При цьому матимемо дисперсію^[1]

\frac{1}{k} \frac{(N - k) (N + 1)}{(k + 2)} \approx \frac{N^{2}}{k^{2}} для малих вибірок k ≪ N

тож стандартне відхилення приблизно становить $\frac{N}{k}$ , середній розмір (для сукупності) проміжку між елементами; порівняємо із вищевказаним $\frac{m}{k}$ .

Максимум вибірки є оцінкою максимальної правдоподібності для максимуму сукупності, але, як зазначалося вище, він є зміщеним.

Якщо вибірка не представлена числами, але її можна промаркувати або розрізнити, розмір популяції можливо визначити методом "Зловити/повторити".

Виведення

Для будь-якого цілого числа m такого що k ≤ m ≤ N, імовірність того, що вибірковий максимум буде дорівнювати m можна розрахувати наступним чином. Кількість різних груп із k танків, які можуть бути утворені із загальної кількості з N танків визначається через біноміальний коефіцієнт $(\binom{N}{k})$ . Оскільки при такому способі підрахунку, перестановки танків розраховуються лише раз, ми можемо впорядкувати серійні номери і відмітити максимальний з них в кожній вибірці. Аби розрахувати імовірність ми повинні полічити кількість впорядкованих вибірок, які можуть містити останній елемент, який буде дорівнювати m а всі інші k-1 танків мають номери менші або такий що дорівнює m-1. Кількість таких вибірок з k-1 танків які можна отримати із загальної кількості m-1 танків задається біноміальним коефіцієнтом $(\binom{m - 1}{k - 1})$ , тож імовірність отримати максимум m становить $P (m) = (\binom{m - 1}{k - 1}) / (\binom{N}{k})$ .

Дано загальну кількість N і розмір вибірки k, математичне сподівання максимуму вибірки визначається як:

\begin{matrix} μ = E [m] & = \sum_{m = k}^{N} m \frac{(\binom{m - 1}{k - 1})}{(\binom{N}{k})} \\ = \frac{1}{(k - 1)! (\binom{N}{k})} \sum_{m = k}^{N} \frac{m!}{(m - k)!} \\ = \frac{k!}{(k - 1)! (\binom{N}{k})} \sum_{m = k}^{N} (\binom{m}{k}) \\ = k \frac{(\binom{N + 1}{k + 1})}{(\binom{N}{k})} \\ = \frac{k (N + 1)}{k + 1}, \end{matrix}

де було використано Шаблон:Нп $\sum_{m = k}^{N} (\binom{m}{k}) = (\binom{N + 1}{k + 1})$ .

Із цього рівняння, невідому кількість N можна розрахувати через сподівання і розмір вибірки, наступним чином

\begin{matrix} N & = μ (1 + k^{- 1}) - 1 . \end{matrix}

Відповідно до лінійності математичного сподівання, отримаємо

\begin{matrix} μ (1 + k^{- 1}) - 1 & = E [m (1 + k^{- 1}) - 1], \end{matrix}

і таким чином незміщена оцінка для N отримується за допомогою заміни сподівання на спостереження,

\begin{matrix} \hat{N} & = m (1 + k^{- 1}) - 1 . \end{matrix}

Крім того, що ця оцінка є незміщеною вона також досягає мінімальної дисперсії. Аби показати це, відмітимо спершу, що максимум вибірки є достатньою статистикою для визначення максимуму сукупності, оскільки імовірність P(m;N) задається як функція лише від однієї m. Далі необхідно довести, що статистика m також є Шаблон:Нп, особливим видом достатньої статистики (demonstration pending). Тоді Шаблон:Нп передбачає, що $\hat{N}$ є незміщеною оцінкою для N із найменшою дисперсією.^[2]

Дисперсія оцінки розраховується як дисперсія вибіркового максимуму

\begin{matrix} V a r [\hat{N}] & = \frac{(k + 1)^{2}}{k^{2}} V a r [m] . \end{matrix}

Дисперсія максимуму в свою чергу розраховується із математичних сподівань $m$ і $m^{2}$ . Розрахунок математичного сподівання для $m^{2}$ є наступним,

\begin{matrix} E [m^{2}] & = \sum_{m = k}^{N} m^{2} \frac{(\binom{m - 1}{k - 1})}{(\binom{N}{k})} \\ = \frac{1}{(k - 1)! (\binom{N}{k})} \sum_{m = k}^{N} m \frac{m!}{(m - k)!} \\ = \frac{1}{(k - 1)! (\binom{N}{k})} \sum_{m = k}^{N} (m + 1 - 1) \frac{m!}{(m - k)!} \\ = \frac{1}{(k - 1)! (\binom{N}{k})} \sum_{m = k}^{N} \frac{(m + 1)!}{(m - k)!} - \frac{1}{(k - 1)! (\binom{N}{k})} \sum_{m = k}^{N} \frac{m!}{(m - k)!} \end{matrix}

де другий терм є математичним сподіванням для $m$ . Перший терм можна виразити через k і N,

\begin{matrix} \frac{1}{(k - 1)! (\binom{N}{k})} \sum_{m = k}^{N} \frac{(m + 1)!}{(m - k)!} & = \frac{(k + 1)!}{(k - 1)! (\binom{N}{k})} \sum_{m = k}^{N} (\binom{m + 1}{k + 1}) \\ = \frac{k (k + 1)}{(\binom{N}{k})} \sum_{n = k + 1}^{N + 1} (\binom{n}{k + 1}) \\ = \frac{k (k + 1)}{(\binom{N}{k})} (\binom{N + 2}{k + 2}) \\ = \frac{k (N + 2) (N + 1)}{(k + 2)} \end{matrix}

де була використана заміна $n = m + 1$ і використане Шаблон:Нп. Підставлення цього результату і математичного сподівання $m$ в рівняння для $E [m^{2}]$ дає

\begin{matrix} E [m^{2}] & = \frac{k (N + 2) (N + 1)}{(k + 2)} - \frac{k (N + 1)}{k + 1} \\ = k (N + 1) (\frac{N + 2}{k + 2} - \frac{1}{k + 1}) \\ = \frac{k (N + 1) (k N + k + N)}{(k + 1) (k + 2)} \end{matrix}

Тоді можна отримати дисперсію для $m$ ,

\begin{matrix} V a r [m] & = E [m^{2}] - E [m]^{2} \\ = \frac{k (N + 1)}{(k + 1)} (\frac{k N + k + N}{k + 2} - \frac{k (N + 1)}{k + 1}) \\ = \frac{k (N + 1)}{(k + 1)} \frac{(N - k)}{(k + 2) (k + 1)} \\ = \frac{k (N + 1) (N - k)}{(k + 1)^{2} (k + 2)} \end{matrix}

Зрештою можна розрахувати дисперсію для оцінки $\hat{N}$ ,

\begin{matrix} V a r [\hat{N}] & = \frac{(k + 1)^{2}}{k^{2}} V a r [m] \\ = \frac{(k + 1)^{2}}{k^{2}} \frac{k (N + 1) (N - k)}{(k + 1)^{2} (k + 2)} \\ = \frac{(N + 1) (N - k)}{k (k + 2)} . \end{matrix}

Див. також

Джерела

Примітки

Шаблон:Reflist

Шаблон:Math-stub Шаблон:Список розподілів ймовірності

↑ ^1,0 ^1,1 Шаблон:Citation
↑ G. A. Young and R. L Smith (2005) Essentials of Statistical Inference, Cambridge University Press, Cambridge, UK, p. 95

[Johnson-1] 1,0 ^1,1 Шаблон:Citation

[2] G. A. Young and R. L Smith (2005) Essentials of Statistical Inference, Cambridge University Press, Cambridge, UK, p. 95

[1]

[2]

Дискретний рівномірний розподіл

Зміст

Визначення максимуму

Виведення

Див. також

Джерела

Примітки

Навігаційне меню

Дискретний рівномірний розподіл

Визначення максимуму

Виведення

Див. також

Джерела

Примітки

Навігаційне меню

Пошук